第4篇 第1～3讲 集合、常用逻辑用语 复数、平面向量 三角函数、三角恒等变换与解三角形(学案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新高考 第四篇　 考前知识回扣、易错提醒保分 第 １ 讲　 集合、常用逻辑用语 　 　 一、知识回扣 　 　 １.集合 (１)集合间的关系与运算 Ａ∪Ｂ ＝Ａ⇔　 　 　 　 ⊆ＡꎻＡ∩Ｂ ＝Ｂ⇔Ｂ 　 　 　 　 Ａ. (２)子集、真子集个数计算公式 对于含有 ｎ 个元素的有限集合 Ｍꎬ其子集、真子 集、非空子集、非空真子集的个数依次为　 　 　 　 　 　 　 　 . (３)集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集ꎬ用数轴求解ꎻ若已 知的集合是点集ꎬ用数形结合法求解ꎻ若已知的集合是 抽象集合ꎬ用 Ｖｅｎｎ 图求解. ２.全称量词命题、存在量词命题及其否定 (１)全称量词命题 ｐ:∀ｘ∈Ｍꎬｐ( ｘ)ꎬ其否定为存 在量词命题:　 　 　 　 　 　 　 　 . (２)存在量词命题 ｐ:∃ｘ∈Ｍꎬｐ( ｘ)ꎬ其否定为全 称量词命题:　 　 　 　 　 　 　 　 . ３.充分条件与必要条件的三种判定方法 (１)定义法:若 ｐ⇒ｑꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充分条件(或 ｑ 是 ｐ 的必要条件)ꎻ若 ｐ⇒ｑꎬ且 ｑ ｐꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充分不 必要条件(或 ｑ 是 ｐ 的必要不充分条件) . 　 　 (２)集合法:利用集合间的包含关系. 例如ꎬ命题 ｐ:ｘ∈Ａꎬ命题 ｑ:ｘ∈Ｂꎬ若 Ａ⊆Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充分条件(ｑ 是 ｐ 的必要条件)ꎻ若 Ａ⫋Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充分不必要条 件(ｑ 是 ｐ 的必要不充分条件)ꎻ若 Ａ ＝ Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充 要条件. (３)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断 真假的命题. 　 　 二、易错提醒 　 　 １. 描述法表示集合时ꎬ一定要理解好集合的含 义———抓住集合的代表元素. 如{ｘ ｜ ｙ ＝ ｌｇ ｘ}———函数 的定义域ꎻ{ｙ ｜ ｙ ＝ ｌｇ ｘ}———函数的值域ꎻ{(ｘꎬｙ) ｜ ｙ ＝ ｌｇ ｘ}———函数图象上的点集. ２. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性ꎬ在解 决有关集合的问题时ꎬ尤其要注意元素的互异性. ３. 空集是任何集合的子集. 解题时勿漏⌀的情况. ４. 注重数形结合在集合问题中的应用ꎬ列举法常 借助 Ｖｅｎｎ 图解题ꎬ描述法常借助数轴来运算ꎬ求解时 要特别注意端点值的取舍. ５. 判断命题的真假要先明确命题的构成. 由命题 的真假求某个参数的取值范围ꎬ还可以从集合的角度 来思考ꎬ将问题转化为集合间的运算. ６. 对于含有全称量词或存在量词命题的否定ꎬ要 注意两个方面:一是量词的改写ꎻ二是结论的否定. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 ２ 讲　 复数、平面向量 　 　 一、知识回扣 　 　 １.复数的相关概念及运算法则 (１)复数 ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ(ａꎬｂ∈Ｒ)的分类 ①ｚ 是实数⇔　 　 　 　 ꎻ ②ｚ 是虚数⇔　 　 　 　 ꎻ ③ｚ 是纯虚数⇔　 　 　 　 . (２)共轭复数 复数 ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ(ａꎬｂ∈Ｒ)的共轭复数 􀭰ｚ ＝ ａ － ｂｉ. (３)复数的模 复数 ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ(ａꎬｂ∈Ｒ)的模 ｜ ｚ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ . (４)复数相等的充要条件 ａ ＋ ｂｉ ＝ ｃ ＋ ｄｉ⇔　 　 　 　 (ａꎬｂꎬｃꎬｄ∈Ｒ) . 特别地ꎬａ ＋ ｂｉ ＝ ０⇔　 　 　 　 (ａꎬｂ∈Ｒ) . (５)复数的运算法则 加减法:(ａ ＋ ｂｉ) ± (ｃ ＋ ｄｉ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ 乘法:(ａ ＋ ｂｉ)(ｃ ＋ ｄｉ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ 除法:(ａ ＋ ｂｉ) ÷ ( ｃ ＋ ｄｉ) ＝ ａｃ ＋ ｂｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ＋ ｂｃ － ａｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ｉ( ｃ ＋ ｄｉ≠０) . (其中 ａꎬｂꎬｃꎬｄ∈Ｒ) ２.复数的几个常见结论 (１)(１ ± ｉ) ２ ＝ ± ２ｉ. (２)１ ＋ ｉ１ － ｉ ＝ ｉꎬ １ － ｉ １ ＋ ｉ ＝ － ｉ. (３) ｉ４ｎ ＝ １ꎬｉ４ｎ ＋ １ ＝ ｉꎬｉ４ｎ ＋ ２ ＝ － １ꎬｉ４ｎ ＋ ３ ＝ － ｉꎬ ｉ４ｎ ＋ ｉ４ｎ ＋ １ ＋ ｉ４ｎ ＋ ２ ＋ ｉ４ｎ ＋ ３ ＝ ０(ｎ∈Ｚ) . ３.平面向量基本定理 如果 ｅ１ꎬｅ２ 是同一平面内的两个不共线向量ꎬ那么 对于这一平面内的任意向量 ａꎬ有且只有一对实数 λ１ꎬ λ２ꎬ使 ａ ＝ λ１ｅ１ ＋ λ２ｅ２ . 我们把不共线的向量 ｅ１ꎬｅ２ 叫做 表示这一平面内所有向量的