第1篇 专题四 第4讲 空间向量与距离，探究性问题&微专题 立体几何中的动态问题(学案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

高考二轮总复习·数学 第 ４ 讲　 空间向量与距离、探究性问题 分析考情􀅰明方向 　 　 　 ＦＥＮ ＸＩ ＫＡＯ ＱＩＮＧ ＭＩＮＧ ＦＡＮＧ ＸＩＡＮＧ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 高频考点 高考预测 距离问题 翻折问题 探索性问题 高考对此部分内容主要以解答题的形式考查ꎬ常以多面体为 载体ꎬ题目与距离问题、折叠问题、探索问题相结合命题. 真题研究􀅰悟高考 　 　 　 　 　 　 ＺＨＥＮ ＴＩ ＹＡＮ ＪＩＵ ＷＵ ＧＡＯ ＫＡＯ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １. (２０２０􀅰全国Ⅱ卷理科)已知△ＡＢＣ 是面积为９ ３４ 的 等边三角形ꎬ且其顶点都在球 Ｏ 的球面上. 若球 Ｏ 的表面积为 １６πꎬ则 Ｏ 到平面 ＡＢＣ 的距离为(　 　 ) Ａ. ３ Ｂ. ３２ Ｃ. １ Ｄ. ３ ２ ２. (２０２２􀅰全国新课标Ⅰ卷)如图ꎬ直三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的体积为 ４ꎬ△Ａ１ＢＣ 的面积为 ２ ２ . (１)求 Ａ 到平面 Ａ１ＢＣ 的距离ꎻ (２)设 Ｄ 为 Ａ１Ｃ 的中点ꎬＡＡ１ ＝ ＡＢꎬ平面 Ａ１ＢＣ⊥平面 ＡＢＢ１Ａ１ꎬ求二面角 Ａ － ＢＤ － Ｃ 的正弦值. ３. (２０２３􀅰全国甲卷文科) 如图ꎬ在三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬＡ１Ｃ⊥平面 ＡＢＣꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°. (１)证明:平面 ＡＣＣ１Ａ１⊥平面 ＢＢ１Ｃ１Ｃꎻ (２) 设 ＡＢ ＝ Ａ１Ｂꎬ ＡＡ１ ＝ ２ꎬ求四棱锥 Ａ１ － ＢＢ１Ｃ１Ｃ 的高. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０７３ 衡中学案·2024 年度创新设计·新高考 ４. (２０２１􀅰全国甲卷)已知直三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬ 侧面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ 为正方形ꎬＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ２ꎬＥꎬＦ 分别为 ＡＣ 和 ＣＣ１ 的中点ꎬＤ 为棱 Ａ１Ｂ１ 上的点ꎬＢＦ⊥Ａ１Ｂ１ . (１)证明:ＢＦ⊥ＤＥꎻ (２)当 Ｂ１Ｄ 为何值时ꎬ面 ＢＢ１Ｃ１Ｃ 与面 ＤＦＥ 所成的 二面角的正弦值最小? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点突破􀅰提能力 　 　 　 　 　 　 　 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＴＩ ＮＥＮＧ ＬＩ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 核心考点 １　 点到直线的距离 􀪋􀪋 􀪋􀪋核 􀪋􀪋 􀪋􀪋心 􀪋􀪋 􀪋􀪋知 􀪋􀪋 􀪋􀪋识􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋精 􀪋􀪋 􀪋􀪋归 􀪋􀪋 􀪋􀪋纳 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　点到直线的距离 已知直线 ｌ 的单位方向向量为 ｕꎬＡ 是直线 ｌ 上的 定点ꎬＰ 是直线 ｌ 外的一点. 设ＡＰ→ ＝ ａꎬ则向量ＡＰ→在直线 ｌ 上的投影向量ＡＱ→ ＝ (ａ􀅰ｕ)ｕꎬ在 Ｒｔ△ＡＰＱ 中ꎬ由勾股定理ꎬ得点 Ｐ 到直线 ｌ 的距离 ＰＱ ＝ ｜ＡＰ→｜ ２ － ｜ＡＱ→｜ ２ ＝ ａ２ － (ａ􀅰ｕ) ２ . 􀪋􀪋 􀪋􀪋典 􀪋􀪋 􀪋􀪋例 􀪋􀪋 􀪋􀪋研 􀪋􀪋 􀪋􀪋析􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋悟 􀪋􀪋 􀪋􀪋方 􀪋􀪋 􀪋􀪋法 　 　 典例 １ (１)已知直线 ｌ 的方向向量为 ａ ＝ (１ꎬ ０ꎬ１)ꎬ点 Ａ(１ꎬ２ꎬ － １)在 ｌ 上ꎬ则点 Ｐ(３ꎬ１ꎬ１)到 ｌ 的距 离为 (　 　 ) Ａ. ２ ２ Ｂ. １ Ｃ. ３ Ｄ. ２ 　 　 (２)如图ꎬ已知正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱长为 １ꎬ则线段 ＡＤ１ 上的动点 Ｐ 到直线 Ａ１Ｃ１ 的距离的最小 值为 (　 　 ) Ａ. １ Ｂ. ２２ Ｃ. ６ ４ Ｄ. ３ ３ 􀪋􀪋 􀪋􀪋方 􀪋􀪋 􀪋􀪋法 􀪋􀪋 􀪋􀪋技 􀪋􀪋 􀪋􀪋巧􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋精 􀪋􀪋 􀪋􀪋提 􀪋􀪋 􀪋􀪋炼 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (１)求直线的方向向量. (２)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在 直线的方向上的投影向量的长度. (３)利用勾股定理求解. 提醒:平行直线间的距离转化为点到直线的距离 求解.