第1篇 专题四 第3讲 空间向量与空间角(学案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

高考二轮总复习·数学 第 ３ 讲　 空间向量与空间角 分析考情􀅰明方向 　 　 　 ＦＥＮ ＸＩ ＫＡＯ ＱＩＮＧ ＭＩＮＧ ＦＡＮＧ ＸＩＡＮＧ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 高频考点 高考预测 异面直线所成角 直线与平面所成的角 二面角(平面与平面的夹角) 在选择、填空或者解答题中继续考查异面直线所 成角、直线与平面所成的角、二面角(平面与平面 的夹角)ꎬ注意与体积最值问题交汇考查. 真题研究􀅰悟高考 　 　 　 　 　 　 ＺＨＥＮ ＴＩ ＹＡＮ ＪＩＵ ＷＵ ＧＡＯ ＫＡＯ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. (２０２３􀅰全国乙卷理科)已知△ＡＢＣ 为等腰直角三 角形ꎬＡＢ 为斜边ꎬ△ＡＢＤ 为等边三角形ꎬ若二面角 Ｃ － ＡＢ － Ｄ为 １５０°ꎬ则直线 ＣＤ 与平面 ＡＢＣ 所成角的 正切值为 (　 　 ) Ａ. １５ Ｂ. ２ ５ Ｃ. ３ ５ Ｄ. ２ ５ ２. (２０２１􀅰全国乙卷)如图ꎬ四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 的底面是 矩形ꎬＰＤ⊥底面 ＡＢＣＤꎬＰＤ ＝ ＤＣ ＝ １ꎬＭ 为 ＢＣ 中点ꎬ 且 ＰＢ⊥ＡＭ. (１)求 ＢＣꎻ (２)求二面角 Ａ － ＰＭ － Ｂ 的正弦值. ３. (２０２２􀅰全国甲卷)在四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中ꎬＰＤ⊥底 面 ＡＢＣＤꎬＣＤ∥ＡＢꎬＡＤ ＝ ＤＣ ＝ ＣＢ ＝ １ꎬＡＢ ＝ ２ꎬＤＰ ＝ ３ . (１)证明:ＢＤ⊥ＰＡꎻ (２)求 ＰＤ 与平面 ＰＡＢ 所成的角的正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０６７ 衡中学案·2024 年度创新设计·新高考 ４. (２０２３􀅰全国新课标Ⅱ卷)如图ꎬ三棱锥 Ａ － ＢＣＤ 中ꎬ ＤＡ ＝ ＤＢ ＝ ＤＣꎬＢＤ⊥ＣＤꎬ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＤＣ ＝ ６０°ꎬＥ 为 ＢＣ 中点. (１)证明:ＢＣ⊥ＤＡꎻ (２)点 Ｆ 满足ＥＦ→ ＝ ＤＡ→ꎬ求二面角 Ｄ － ＡＢ － Ｆ 的正 弦值. ５. (２０２３􀅰全国新课标Ⅰ卷)如图ꎬ在正四棱柱 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ 中ꎬＡＢ ＝ ２ꎬＡＡ１ ＝ ４. 点 Ａ２ꎬＢ２ꎬＣ２ꎬＤ２ 分别 在棱 ＡＡ１ꎬＢＢ１ꎬＣＣ１ꎬＤＤ１ 上ꎬＡＡ２ ＝ １ꎬＢＢ２ ＝ ＤＤ２ ＝ ２ꎬ ＣＣ２ ＝ ３. (１)证明:Ｂ２Ｃ２∥Ａ２Ｄ２ꎻ (２)点 Ｐ 在棱 ＢＢ１ 上ꎬ当二面角 Ｐ － Ａ２Ｃ２ － Ｄ２ 为 １５０°时ꎬ求 Ｂ２Ｐ. ６. (２０２３􀅰全国甲卷理科)在三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬ ＡＡ１ ＝ ２ꎬＡ１Ｃ⊥底面 ＡＢＣꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＡ１ 到平面 ＢＣＣ１Ｂ１ 的距离为 １. (１)求证:ＡＣ ＝ Ａ１Ｃꎻ (２)若直线 ＡＡ１ 与ＢＢ１ 距离为２ꎬ求 ＡＢ１ 与平面ＢＣＣ１Ｂ１ 所成角的正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点突破􀅰提能力 　 　 　 　 　 　 　 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＴＩ ＮＥＮＧ ＬＩ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 核心考点 １　 异面直线所成的角 􀪋􀪋 􀪋􀪋核 􀪋􀪋 􀪋􀪋心 􀪋􀪋 􀪋􀪋知 􀪋􀪋 􀪋􀪋识􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋精 􀪋􀪋 􀪋􀪋归 􀪋􀪋 􀪋􀪋纳 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　异面直线所成的角的范围以及求角公式 若异面直线 ｌ１ꎬｌ２ 所成的角为 θꎬ其方向向量分别 是 ｕ ＝ (ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬｖ ＝ (ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２) . (１)θ∈ ０ꎬπ２ æ è ç ]. (２) ｃｏｓ θ ＝ ｜ ｃｏｓ ‹ ｕꎬ ｖ› ｜ ＝ 　 　 　 　 ＝ ｜ｕ􀅰ｖ ｜｜ｕ ｜ ｜ ｖ ｜ ＝ ｜ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ ＋ ｚ１ ｚ２ ｜ ｘ２１ ＋