第1篇 专题三 第5讲 利用导数研究函数的容点问题&微专题 常用构造函数的几种方法(学案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

高考二轮总复习·数学 第 ５ 讲　 利用导数研究函数的零点问题 分析考情􀅰明方向 　 　 　 ＦＥＮ ＸＩ ＫＡＯ ＱＩＮＧ ＭＩＮＧ ＦＡＮＧ ＸＩＡＮＧ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 高频考点 高考预测 判断函数零点的个数 根据函数的零点的个数求参数的范围 以指数函数、对数函数、三次有理函数、三角函数为载体ꎬ 探究函数零点问题ꎬ是高考题的重点常考内容. 真题研究􀅰悟高考 　 　 　 　 　 　 ＺＨＥＮ ＴＩ ＹＡＮ ＪＩＵ ＷＵ ＧＡＯ ＫＡＯ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. (２０２２􀅰全国乙卷)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ － １ｘ － (ａ ＋ １)ｌｎ ｘ. (１)当 ａ ＝ ０ 时ꎬ求 ｆ(ｘ)的最大值ꎻ (２)若 ｆ(ｘ)恰有一个零点ꎬ求 ａ 的取值范围. ２. (２０２２􀅰全国甲卷)已知函数 ｆ( ｘ) ＝ ｅ ｘ ｘ － ｌｎ ｘ ＋ ｘ － ａ. (１)若 ｆ(ｘ)≥０ꎬ求 ａ 的取值范围ꎻ (２)证明:若 ｆ(ｘ)有两个零点 ｘ１ꎬｘ２ꎬ则 ｘ１ｘ２ < １. ３. (２０２２􀅰新高考全国Ⅰ卷)已知函数 ｆ( ｘ) ＝ ｅｘ － ａｘ 和 ｇ(ｘ) ＝ ａｘ － ｌｎ ｘ 有相同的最小值. (１)求 ａꎻ (２)证明:存在直线 ｙ ＝ ｂꎬ其与两条曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ)和 ｙ ＝ ｇ(ｘ)共有三个不同的交点ꎬ并且从左到右的 三个交点的横坐标成等差数列. ４. ( ２０２３ 􀅰上海高考) 已知 ａꎬ ｃ ∈ Ｒꎬ 函数 ｆ ( ｘ ) ＝ ｘ ２ ＋ (３ａ ＋ １)ｘ ＋ ｃ ｘ ＋ ａ . (１)若 ａ ＝ ０ꎬ求函数的定义域ꎬ并判断是否存在 ｃ 使 得 ｆ(ｘ)是奇函数ꎬ说明理由ꎻ (２)若函数过点(１ꎬ３)ꎬ且函数 ｆ(ｘ)与 ｘ 轴负半轴有 两个不同交点ꎬ求此时 ｃ 的值和 ａ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０５３ 衡中学案·2024 年度创新设计·新高考 考点突破􀅰提能力 　 　 　 　 　 　 　 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＴＩ ＮＥＮＧ ＬＩ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 核心考点 １　 判断函数零点的个数 􀪋􀪋 􀪋􀪋典 􀪋􀪋 􀪋􀪋例 􀪋􀪋 􀪋􀪋研 􀪋􀪋 􀪋􀪋析􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋悟 􀪋􀪋 􀪋􀪋方 􀪋􀪋 􀪋􀪋法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ (２０２３􀅰黄埔区模拟)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｅｘ － １ ＋ ｅ － ｘ ＋ １ꎬｇ(ｘ) ＝ ａ(ｘ２ － ２ｘ)(ａ < ０) . (１)求函数 ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ (２)讨论函数 ｈ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) － ｇ(ｘ)的零点个数. 􀪋􀪋 􀪋􀪋方 􀪋􀪋 􀪋􀪋法 􀪋􀪋 􀪋􀪋技 􀪋􀪋 􀪋􀪋巧􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋精 􀪋􀪋 􀪋􀪋提 􀪋􀪋 􀪋􀪋炼 利用导数研究函数零点问题的思路 (１)构建函数 ｇ(ｘ)(要求 ｇ′(ｘ)易求ꎬｇ′(ｘ) ＝ ０ 可 解)ꎬ转化确定 ｇ(ｘ)的零点个数问题求解ꎬ利用导数研 究该函数的单调性、极值ꎬ并确定定义区间端点值的符 号(或变化趋势)等ꎬ画出 ｇ(ｘ)的图象草图ꎬ数形结合 求解. (２)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数 在某区间上有零点ꎬ然后利用导数研究函数的单调性、 极值(最值)及区间端点值符号ꎬ进而判断函数在该区 间上零点的个数. 􀪋􀪋 􀪋􀪋加 􀪋􀪋 􀪋􀪋固 􀪋􀪋 􀪋􀪋训 􀪋􀪋 􀪋􀪋练􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋促 􀪋􀪋 􀪋􀪋提 􀪋􀪋 􀪋􀪋高 　 (２０２３􀅰定远县校级模拟)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｅｘ ＋ ｘ ＋ ４ｌｎ(２ － ｘ) . (１)求函数 ｆ(ｘ)的图象在(０ꎬｆ(０))处的切线方程ꎻ (２)判断函数 ｆ(ｘ)的零点个数ꎬ并说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋