第1篇 专题三 第4讲 利用导数研究不等式(学案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新高考 核心考点 ４　 函数的极值和最值的综合应用 􀪋􀪋 􀪋􀪋多 􀪋􀪋 􀪋􀪋维 􀪋􀪋 􀪋􀪋题 􀪋􀪋 􀪋􀪋组􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋明 􀪋􀪋 􀪋􀪋技 􀪋􀪋 􀪋􀪋法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. (２０２３􀅰北流市模拟)已知 ｘ ＝ １ 为函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｎ ｘ ＋ ２ｘ ＋ ａｘ 的极值点ꎬ则 ｆ(ｘ)在区间 １ ２ ꎬ２[ ]上的最大 值为(注:ｌｎ ２≈０. ６９) (　 　 ) Ａ. ３ Ｂ. ７ － ｌｎ ２ Ｃ. ５ Ｄ. １１２ ＋ ｌｎ ２ ２. (２０２３􀅰河南模拟)若∀ｘ∈(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬｌｎ(２ｘ) － ａｅ ｘ ２ ≤ｌｎ ａ 恒成立ꎬ则 ａ 的最小值为 (　 　 ) Ａ. １ｅ Ｂ. ２ ｅ Ｃ. ｅ Ｄ. ｅ ２ 􀪋􀪋 􀪋􀪋方 􀪋􀪋 􀪋􀪋法 􀪋􀪋 􀪋􀪋技 􀪋􀪋 􀪋􀪋巧􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋精 􀪋􀪋 􀪋􀪋提 􀪋􀪋 􀪋􀪋炼 等价转化思想在解决极值与最值问题中的应用 (１)函数在某一区间上有极值(点)ꎬ可以转化为 方程满足某种条件的解ꎻ (２)求函数的极值、最值问题ꎬ可以转化为函数的 单调性问题ꎻ 　 　 (３)与函数极值、最值有关的参数问题ꎬ可以转化 为解方程、不等式问题ꎬ而某些方程有解、不等式有解、 不等式恒成立问题则可以转化为函数的最值问题. 􀪋􀪋 􀪋􀪋加 􀪋􀪋 􀪋􀪋固 􀪋􀪋 􀪋􀪋训 􀪋􀪋 􀪋􀪋练􀅰 􀪋􀪋 􀪋􀪋促 􀪋􀪋 􀪋􀪋提 􀪋􀪋 􀪋􀪋高 １. (２０２３􀅰江西模拟)若函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ２ － ａｘ ＋ ａ － ｅｘ 的极值 点均不大于 ２ꎬ且在区间(１ꎬ３)上有最小值ꎬ则实数 ａ 的取值范围是 (　 　 ) Ａ. ( － ∞ ꎬ４ － ｅ] Ｂ. (１ꎬ３) Ｃ. ( － ∞ ꎬ１) Ｄ. (４ － ｅꎬ ＋ ∞ ) ２. (２０２３􀅰亭湖区校级三模)设实数 ｔ > ０ꎬ若不等式 ｅ２ｔｘ － ｌｎ ２ ＋ ｌｎ ｘｔ ≥０ 对 ｘ > ０ 恒成立ꎬ则 ｔ 的取值范围 为 (　 　 ) Ａ. １２ｅꎬ ＋ ∞[ ö ø ÷ Ｂ. １ｅ ꎬ ＋ ∞[ ö ø ÷ Ｃ. ０ꎬ １ｅ æ è ç ] Ｄ. ０ꎬ １２ｅ æ è ç ] 温馨提示:复习至此ꎬ请做练案[９] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 ４ 讲　 利用导数研究不等式 分析考情􀅰明方向 　 　 　 ＦＥＮ ＸＩ ＫＡＯ ＱＩＮＧ ＭＩＮＧ ＦＡＮＧ ＸＩＡＮＧ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 高频考点 高考预测 利用导数证明不等式 双变量问题 利用导数研究不等式恒成立或能成立(存在性)问题 函数不等式中的参数范围的讨论ꎬ恒 成立和能成立问题的讨论ꎬ是高考的 必考内容. 真题研究􀅰悟高考 　 　 　 　 　 　 ＺＨＥＮ ＴＩ ＹＡＮ ＪＩＵ ＷＵ ＧＡＯ ＫＡＯ 　 对应学生用书学案Ｐ６７ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. (２０２３􀅰全国新课标Ⅰ卷)已知函数 ｆ( ｘ) ＝ ａ( ｅｘ ＋ ａ) － ｘ. (１)讨论 ｆ(ｘ)的单调性ꎻ (２)证明:当 ａ > ０ 时ꎬｆ(ｘ) > ２ｌｎ ａ ＋ ３２ . ２. (２０２３􀅰全国新课标Ⅱ卷)(１)证明:当 ０ < ｘ < １ 时ꎬ ｘ － ｘ２ < ｓｉｎ ｘ < ｘ. (２)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｃｏｓ ａｘ － ｌｎ(１ － ｘ２)ꎬ若 ｘ ＝ ０ 是 ｆ(ｘ)的极大值点ꎬ求 ａ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０５０ 高考二轮总复习·数学 ３. (２０２３􀅰全国甲卷理科) 已知 ｆ ( ｘ) ＝ ａｘ － ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ３ｘ ꎬ ｘ∈ ０ꎬπ２ æ è ç ö ø ÷. (１)若 ａ ＝ ８ꎬ讨论 ｆ(ｘ)的单调性ꎻ (２)若 ｆ(ｘ) < ｓｉｎ ２ｘ 恒成立ꎬ求 ａ 的取值范围. ４. (２０２２􀅰全国新课标Ⅱ卷)已知函数 ｆ ( ｘ) ＝ ｘｅａｘ － ｅｘ . (１)当 ａ ＝ １ 时ꎬ讨论 ｆ(ｘ)的单调性ꎻ (２)当 ｘ > ０ 时ꎬｆ(ｘ) < － １ꎬ求 ａ 的取值范围ꎻ (３) 设 ｎ ∈