6.3.1 平面向量基本定理-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

6.3.1 平面向量基本定理 高一下学期 1 1、理解基底的概念，能判断两个向量是否能构成基底； 2、掌握平面向量基本定理及其证明； 3、能用基底表示其他向量； 4、通过平面向量基本定理的学习，提升直观想象、逻辑推理的素养. 重点：基底的概念，平面向量基本定理 难点：用基底表示向量、三点共线 学习目标 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力； 反过来，一个力可以分解为两个力. 如图，通过作平行四边形，力可以分解为多组大小、方向不同的分力. 思考：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 设是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与都不共线的向量. 新知探究 过点作平行于直线的直线交于点，则 由与共线可得， 由与共线可得，，， 所以. 也就是说，与，都不共线的向量都可以表示成的形式. 在平面内任取一点，作，，， 将按的方向分解， 思考：当是与或共线的非零向量或者当是零向量时，可以表示成的形式吗？ 新知探究 思考：上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，这表示形式唯一吗？ 如果还可以表示成的形式，那么 可得由此式可以推出全为0 (假设不全为0，不妨假设，则. 由此可得，共线.这与已知，不共线矛盾)，即 也就是说，有且只有一对实数，使. 新知探究 1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 若不共线，我们把}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便. 新知生成 辨析：判断正误. (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. （ ） (2)零向量可以作为基底. （ ） (3)若是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ） × ✓ × 练习：设，是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的 是（　　）A.和 B.和C.和 D.和 B 新知生成 例1：如图，，不共线，且，用，表示. 解：因为， 所以 思考：观察，你有什么发现？ 若三点共线，为直线外一点 存在实数，使且. 新知生成 例2：如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形. 证明：如图，设，，则，，于是. 因为，所以 因为，，所以 因此. 于是是直角三角形. 新知生成 练习：在平行四边形中，点的中点，点的三等分点，设，. (1)用，表示，. (2)如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论. 教材P37 1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 若不共线，我们把}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 若三点共线，为直线外一点 存在实数，使且. 课堂小结 1、整理本节课的题型； 2、课本P27的练习13题； 3、课本P36的习题6.3的1、11题. 作业布置 1、如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底 的一对向量是（　　） A. B. C.， D.， 2、已知向量不共线，实数x，y满足（2x＋y）＋（3x＋2y）＝，则x＋y＝ 　　　　⁠.  解析：∵e1，e2不共线，∴解得 ∴x＋y＝0. 题型一：判断向量能否作为基底 B 0 1、在△中，已知是的中点，点在上，且，则_____________.（用和表示） 2、如图所示,在△中，是的中点，且，与相交于点，设，，试用基底表示向量. 题型二：用基底表示向量 2、如图,已知分别是边长为1的正△的边，的中点，是的中点，则. 题型三：求向量数量积 1、已知，，分别根据下列条件计算与的数量积： (1)(2)；(3)与的夹角为60°. 解：(1)当时，若与同向，则， 若与反向，则， (2)当时，与的夹角为90°， (3)当与的夹角为60°时， 设与的夹角为. 3、如图，在△中，是的中点，点满足，与相交于点，，. (1)设，求实数的值. (2)设是上一点，且，求. 题型三：求向量数量积 24、如图，在中，是不是只需知道的半径或弦的长度，就可以求出的值？ 教材P24 练习：如图，在中，弦的长为2，则 2 题型三：向量数量积应用 1、如图，在平面四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，E，F分别是AD，DC的中点，G为线段BC上一点，且.设，，若，求的取值范围. 1、在△中，已知是延长线上一点，若 ，点为线段的中点，，则_________