6.3 平面向量基本定理及坐标表示（十二大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：平面向量基本定理 1,平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 知识梳理 2,如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． (1)由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． (2)在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量,，平面上的任何一个向量都可以用,唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有,的代数运算． 知识梳理 知识点二：平面向量的坐标表示 1,正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2,平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴,轴方向相同的两个单位向量,作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的(直角)坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化,代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识梳理 知识点三：平面向量的坐标运算 1,平面向量坐标的加法,减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识梳理 知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示 1,平面向量平行(共线)的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2,三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 知识梳理 知识点五：向量数量积的坐标表示 1,已知两个非零向量，， 2,设，则或 3,如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为,， 那么(平面内两点间的距离公式)． 知识梳理 知识点六：向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件 (3)求夹角问题，利用 (4)求线段的长度，可以利用或 03 典型例题 【例1】(2024·山东·高一统考期末)设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(    ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】不共线的向量可以作为基底， 所以不能作为基底的便是共线向量， 显然选项B中，， 所以和共线. 故选: B. 题型一：平面向量基本定理的理解 典型例题 【变式1-1】(2024·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期末)已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若两向量平行，则不可以作为基底， 由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底， C中的向量，满足，向量，不能作为基底. 故选：C 题型一：平面向量基本定理的理解 典型例题 【例2】如图为正六边形ABCDEF，其中点O为正六边形ABCDEF的中心，设，， 若，，则(    )   A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正六边形的性质可知，， 因为，，所以， ， 所以 ．故选：B 题型二：用基底表示向量 典型例题 【变式2-1】(2024·全国·高一专题练习)如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，，三点共线，可设，则， ； 三点共线，可设， 则，； ，解得：，，即.故选：B. 题型二：用基底表示向量 典型例题 【例3】(2024·高一课时练习)如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为,,．