6.3.2 平面向量的正交分解及及坐标表示（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 平面向量的正交分解及坐标表示 理解平面向量的正交分解及坐标表示的概念 重点 数学抽象 将一向量分解为两个垂直的向量 难点 逻辑推理 求向量的坐标 数学运算 　 （1）什么是平面向量基本定理？ 复习回顾 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 条件 e1，e2是同一平面内的两个____________ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________ 不共线向量 λ1e1＋λ2e2 那么，向量分解到底有什么意义呢？本节课我们一起来研究。 1 （2）已知向量e1，e2，作出向量a在e1，e2方向上的分解． a e1 e2 a e1 e2 问题1（自行阅读教材第28页第一段话）　 （1）什么是正交分解？ （2）举一个正交分解的例子． 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量． 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 在平面中，如果取相互垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来极大的方便。 2 重力G可以分解为两个分力： 1.平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 2.垂直于斜面的压力F2 问题2：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ x y O i j a 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 取{i，j}作为基底，则有且只有一对实数x，y，使得 3 a＝xi+yj 平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a＝（x，y）． ① 其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， ①叫做向量a的坐标表示． 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 问题4：向量的坐标与点的坐标有何区别与联系？ 向量 的坐标（x，y）就是终点A的坐标； 终点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标． 问题5：实数对“（2，3）”表示什么意思？ 1、点 A（2，3） 2、区间（2，3） 问题3：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？ i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0） 以原点O为起点作 ＝a， ＝xi+yj． 则终点A的坐标（x，y）就不是向量a的坐标． 若向量a的起点不是原点， 3、向量 a＝（2，3） 6 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 解：a＝ ＋ ＝2i＋3j， 例1.如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标。 所以a＝（2，3）． 同理， b＝－2i＋3j＝（－2，3）， c＝－2i－3j＝（－2，－3）， d＝2i－3j＝（2，－3）． 7 题型一 利用正交分解求向量的坐标 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 求平面向量的坐标的常用方法 (1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y). (2)向量的坐标等于向量终点的坐标减去起点的坐标,当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标等于向量终点的坐标. (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行求解. 题型一 利用正交分解求向量的坐标 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 题型二 向量的坐标表示的应用 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8   学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 9 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量. (2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某点的坐标或参数的值. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 课堂小结 10 1.平面向量的正交分解 2.平面向量的坐标表示 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 11 1.完成本节练习 2.完成习题6.3第7题 感谢观看 1.如图所示,已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐标. 解:因为||×cos 60°=4×=2,||×sin 60°=4×=6, 且点A在第一象限, 所以点A的坐标为(2,6). 所以向量的坐标为(2,6). 2.（变式）若将例1中的“第一象限”改为“第二象限”,“∠xOA=60°”改为“∠xOA=150°”,求向量的坐标. 3.如图所示,在正方形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),则=　　　,=　　　　,=　　　　.  解:因为||×cos 150°=4×（-）=-6,||×sin 30°=4×=2.所以点A的坐标为(-6,2),所以向量的坐标为(-6,2). 解:由正方形的对称性可知B(1,-1),所以=(1,-1), 同理=(-1,1),=(1,1). 1.如图所示,已知平行四边形的三个顶点的坐标为A(0,0),B(0,b),C(a,c).求第四个顶点D的坐标. 解:如图所示,设第四个顶点为D(x,y). (1)当四个顶点按逆时针ACDB排列时(点D在图中点D1的位置), 则=(a,c),=(x,y-b). 由=,得(a,c)=(x,y-b). 所以所以 即点D的坐标为(a,b+c). (2)当四个顶点按逆时针ACBD排列时(点D在图中点D2的位置),由=(a,c),=(-x,b-y)及=,得(a,c)=(-x,b-y). 所以所以则此时点D的坐标为(-a,b-c). (3)当四个顶点按逆时针ADCB排列时(点D在图中点D3的位置),由=(x,y),=(a,c-b)及=,得(x,y)=(a,c-b). 所以则此时点D的坐标为(a,c-b). 综上所述,第四个顶点D的坐标有三个,即(a,b+c),(-a,b-c),(a,c-b). $$