2024年中考数学专项复习讲义 二次根式

2024年中考数学专项复习讲义：二次根式 知识点归纳 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 提升练习 一、单选题 1．下列运算正确的是（　　）． A． B． C． D． 2．如果a为实数，那么一定为 （　　） A．a B．-a C．0 D．以上均不对 3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 4．计算 的结果是（　　） A．6 B． C．+6 D．12 5．若=m﹣1，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m=1 D．一切实数 6． ﹣1的倒数为（　　） A． ﹣1 B．1﹣ C． +1 D．﹣ ﹣1 7．下列整数中，与 的值最接近的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．若x，y为实数，且，则x+y的值为（　　） A．7 B．1 C．-7 D．-1 二、填空题 9． ，则（﹣m）n＝　 　． 10．已知 ，那么 　 　. 11．设x、y是实数,且 ，则 =　 　 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则　 　． 13．已知长方形的面积是，其中一边的长是cm，则该长方形的周长为　 　cm. 三、解答题 14．若x，y都是实数，且y=++1，求+3y的值． 15．已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：． 16．计算： （1） （2） 17．已知长方形的长 ，宽 . （1）求长方形的周长； （2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系. 18．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵. ∴. ∴，即. ∴， ∴. 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： （1）分母有理化：　 　； （2）计算：； （3）若，求的值. 答案 1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 9．-8 10．34 11． 12．2 13． 14．解：由题意得： ， 解得：x=4， 则y=1， +3y=2+3=5． 15．解：由数轴可知：a＞0，a-b＞0，c-a＜0，b-c＜0， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为： 16．（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（1）解： ∴长方形的周长为 . （2）解：长方形的面积为： 正方形的面积也为4.边长为 周长为： ∴长方形的周长大于正方形的周长. 18．（1） （2）解：由（1）的启示可得： （3）解：， 学科网（北京）股份有限公司 $$