第24章 专题三 圆中常见辅助线添加技巧(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(沪科版)

年级下册·I 数 学 第24章　圆 专题三　圆中常见辅助线添加技巧 　遇到弦时，常添加边心距，或作垂直于弦的半径（直径），或连接过 弦端点的半径 1.如图所示，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　C　） A. B.2 C.2 D.8 第1题图 C 2.如图所示，以AB为直径的☉O中，点C为☉O上一点，且AC＝BC＝，过点O作 OD⊥AC，垂足为D，点P为直线OD上一个动点，则弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小值为 ⁠. 第2题图 2＋ 解析：要使得弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，弧BC的值不变，则BP ＋PC最小即可. ∵OD⊥AC， ∴点C关于PD的对称点为点A， 即当P点与O点重合时，BP＋PC最小， 即弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小， 连接OC，如图所示. ∵AC＝BC＝， ∴∠BOC＝90°，OB＝OC＝BC＝×＝1， ∴弧BC的长为＝＝， ∴弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小为2＋. 3.如图所示，已知△ABC内接于☉O，∠A＝45°，BC＝2，求☉O的面积. 解：如图所示，连接OB，OC. ∵∠A＝45°，BC＝2， ∴∠BOC＝90°. ∵OB＝OC， ∴2OB2＝BC2，即2OB2＝22， 解得OB2＝2. ∴☉O的面积为πOB2＝π×2＝2π. 　遇到直径时，常添加直径所对的圆周角 4.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点I是△ABC的内心，CI的延长 线交△ABC的外接圆☉O于点D，则DI的长为（　C　） A. B.2 C. D.1 第4题图 C 解析：连接AI，AD，BD，如图所示. ∵点I是△ABC的内心， ∴∠ACD＝∠BCD，∠CAI＝∠BAI. ∵∠DAB＝∠BCD， ∴∠DAB＝∠ACI. ∴∠DAB＋∠OAI＝∠ACI＋∠CAI， ∴∠AID＝∠DAI， ∴DA＝DI. ∵∠ACB＝90°， ∴AB是直径. ∵∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∴△ABD是等腰直角三角形. ∵AB＝2， ∴AD＝， ∴DI＝. 5.如图所示，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分 ∠CAB，若AD＝6，则AC＝ ⁠. 第5题图 2 6.如图所示，已知在△ABC中，AB为半圆O的直径，AC，BC分别交半圆O于点 E，D，且BD＝DE. （1）求证：D是BC的中点. 解：（1）证明：如图所示，连接AD. ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵BD＝DE， ∴＝， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△BAD和△CAD中， ​ ∴△BAD≌△CAD（ASA）， ∴BD＝DC，即D是BC的中点. （2）若E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由. 解：（2）△ABC是等边三角形.理由如下： ∵△BAD≌△CAD，∴AB＝AC. ∵∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴DE＝AE＝EC. 由（1）得DE＝BD＝DC， ∴CA＝CB＝AB， ∴△ABC是等边三角形. 7.如图所示，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长. 解：作直径AD，连接CD. ∴∠ACD＝90°. ∵∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°. ∵☉O的半径为6， ∴AD＝12. 在Rt△ACD中，∠D＝60°， ∴AC＝6. 　遇到切线时，常添加过切点的半径 8.如图所示，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂 足为D.若∠DCA＝55°，则∠CAO的度数为（　B　） A.25° B.35° C.45° D.55° B 解析：连接OC. ∵DC是☉O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠DCA＋∠ACO＝90°， 且∠DCA＝55°， ∴∠ACO＝35°. ∵AO＝CO， ∴∠OAC＝∠ACO＝35°. 9.如图所示，已知AB是☉O的直径，点C在☉O上，过点C的切线与AB的延长线交 于点P，连接AC，若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为 ⁠. 第9题图 ​ 解析：连接CO. ∵OA＝OC，∠A＝30°， ∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠COB＝∠A＋∠ACO＝60°. ∵PC是☉O的切线， ∴∠PCO＝90°，∴∠P＝30°. ∵PC＝3， ∴OC＝PC·tan 30°＝，PO＝2OC＝2， ∴PB＝PO－OB＝. 10.如图所示，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则 ∠C＝ 度. 第10题图 45 解析：连接O