第24章 专题二 与切线有关的计算与证明(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(沪科版)

年级下册·I 数 学 第24章　圆 专题二　与切线有关的计算与证明 　利用切线的性质求角的度数或线段的长度 1.如图所示，AB和☉O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为（　B　） A.15° B.30° C.45° D.60° 第1题图 B 2.如图所示，直线AB与☉O相切于点A，AC，CD是☉O的两条弦，且CD∥AB，若 ☉O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（　D　） A.10 B.8 C.4 D.4 第2题图 解析：由直线AB是☉O的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出 CE＝4.连接OC，在Rt△COE中求得OE＝3从而得出AE＝8，在Rt△ACE中利用 勾股定理可得AC＝4. D 3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在边AB上，OB＝2，以OB 为半径的☉O与AC相切于点D，交BC于点E，交AB于点F.求弦BE的长. 解：连接OD，OE. ∵AC与☉O相切于点D， ∴OD⊥AC.∴∠ADO＝90°. ∵∠C＝90°，∴OD∥BC. ∴∠AOD＝∠ABC. 又∠A＝∠A， ∴Rt△ADO∽Rt△ACB， ∴＝. ∵OB＝2，BC＝3，∴＝， ∴AF＝2. 在Rt△ADO中，sin A＝＝， ∴∠A＝30°. ∴在Rt△ACB中，∠B＝60°. 在△OBE中，OB＝OE， ∴△OBE为等边三角形. ∴BE＝OB＝2. 4.如图所示，BE是☉O的直径，点A和点D是☉O上的两点，过点A作☉O的切线交 BE的延长线于点C. （1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数. 解：（1）连接OA. ∵AC是☉O的切线，OA是☉O的半径， ∴OA⊥AC.∴∠OAC＝90°. ∵＝，∠ADE＝25°， ∴∠AOE＝2∠ADE＝50°. ∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°. （2）若AB＝AC，CE＝2，求☉O半径的长. 解：（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵＝，∴∠AOC＝2∠B. ∴∠AOC＝2∠C. ∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝90°. ∴3∠C＝90°.∴∠C＝30°.∴OA＝OC. 设☉O的半径为r， ∵CE＝2，∴r＝（r＋2），解得r＝2. ∴☉O的半径为2. 　切线的证明技巧 5.如图所示，AD是☉O的弦，AB经过圆心O交☉O于点C，连接BD，∠A＝∠B＝ 30°.求证：BD是☉O的切线. 证明：连接OD. ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠DAB＝30°. ∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°. ∴∠ODB＝180°－∠DOB－∠B＝180°－60°－30°＝90°， 即OD⊥BD. 又∵OD为☉O的半径， ∴BD是☉O的切线. 6.如图所示，点O在∠APB的平分线上，☉O与PA相切于点C.求证：直线PB与☉O 相切. 证明：连接OC，作OD⊥PB于点D. ∵☉O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA. ∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB， ∴OD＝OC. ∴直线PB与☉O相切. 7.如图所示，以等腰三角形ABC的腰AB为☉O的直径作圆，交底边BC于点D， DE⊥AC于点E. 求证：（1）DB＝DC. 证明：（1）连接AD. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又∵AB＝AC， ∴D为BC的中点. ∴DB＝DC. （2）DE为☉O的切线. 证明：（2）连接OD. ∵D为BC的中点，OA＝OB， ∴OD为△ABC的中位线. ∴OD∥AC. 又∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°. ∵OD为☉O的半径， ∴DE为☉O的切线. 8.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°. （1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心、OB的长为半径作☉O. （要求：不写作法，保留作图痕迹） 解：（1）如图所示即为所作. （2）判断（1）中AC与☉O的位置关系，直接写出结果并说明理由. 解：（2）相切.理由如下：如图所示，过点O作OD⊥AC于点D. ∵CO平分∠ACB， ∴OB＝OD. ∴AC与☉O的位置关系是相切. 9.如图所示，已知A，B，C，D，E是☉O上的五个点，☉O的直径BE＝2， ∠BCD＝120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE. （1）求线段BD的长. 解：（1）连接DE. ∵∠BED＋∠BCD＝180°，∠BCD＝120°， ∴∠DEB＝180°－120°＝60°. ∵BE为☉O的直径， ∴∠BDE＝90°. 在Rt△BDE中，DE＝BE＝×2＝， BD＝DE＝×＝3. （2）求证：直线PE是☉O的切线. 解：（2）证明：连接EA. ∵BE为☉O的直径，∴∠BAE＝90°. ∵A为的中点，∴∠ABE＝45°. ∵B