第24章 专题一 与三角形和正方形有关的旋转(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(沪科版)

年级下册·I 数 学 第24章　圆 专题一　与三角形和正方形有关的旋转 　与一般三角形有关的旋转 1.如图所示，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直 线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　C　） A.55° B.60° C.65° D.70° C 2.如图所示，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到 △AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠CAB'＝ ⁠. 第2题图 30° 3.必考题如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应 点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝ ⁠. 第3题图 ​ 解：（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAF. 由旋转的性质可知AC＝AF. 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BC. 4.如图所示，在△ABC中，点E在边BC上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到线段 AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G. （1）求证：EF＝BC. （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数. 解：（2）∵AB＝AE，∠ABC＝65°， ∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°， ∴∠FAG＝∠BAE＝50°. ∵△ABC≌△AEF， ∴∠F＝∠C＝28°， ∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°. 　与直角三角形有关的旋转 5.如图所示，将一个含30°角的直角三角尺ABC绕点A旋转，使得点B，A，C'在同 一条直线上，则三角尺ABC旋转的角度是（　D　） A.60° B.90° C.120° D.150° 第5题图 　 D 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按 逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离 为（　D　） A.12 B.6 C.6 D.6 第6题图 D 7.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转 角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C. ① ② ③ （1）如图①所示，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，证明：△A'CD是等边 三角形. 解：（1）证明：∵AB∥CB'， ∴∠B＝∠BCB'＝30°.∴∠A'CD＝60°. 又∵∠A'＝∠A＝90°－30°＝60°， ∴∠A'CD＝∠A'＝∠A'DC＝60°. ∴△A'CD是等边三角形. ① （2）如图②所示，连接A'A，B'B，设△ACA'和△BCB'的面积分别为S△ACA'和 S△BCB'，求证：S△ACA'∶S△BCB'＝1∶3. 解：（2）证明：∵∠ACA'＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，即＝， ∴△ACA'∽△BCB'，∴＝. ∵ ∠ABC＝30°，∴＝tan 30°＝， ∴＝，∴S△ACA'∶S△BCB'＝1∶3. ② （3）如图③所示，设边AC的中点为点E，边A'B'的中点为点P，AC＝a，连接 EP，当θ＝ °时，EP长度最大，最大值为 ⁠. 解：（3）解析：连接CP，当E，C，P三点不共线时，EC＋CP＞EP；当E，C，P三点共线时，EC＋CP＝EP. 综上所述，EP≤EC＋CP. 故当E，C，P三点共线，即旋转120°时，EP长度最大，此时EP＝EC＋CP＝EC＋A'B'＝EC＋AB＝a＋a＝a. 120 a ③ 　与等腰三角形有关的旋转 8.如图所示，P为等边三角形ABC内的一点，且点P到三个顶点A，B，C的距离分 别为3，4，5，则△ABC的面积为（　A　） A.9＋ B.9＋ 第8题图 　 A C.18＋25 D.18＋ 解析：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC. 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，作AF⊥BP的延长线于点F. 如图所示， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°. 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°＋60°＝150°， ∴∠APF＝30°. 在Rt△APF中，AF＝AP＝， PF＝AP＝. ∴在Rt△ABF中，AB2＝BF2＋AF2＝＋＝25＋12. 故△ABC的面积是·AB2＝·（25＋12）＝9＋. 9.将等边三角形CB