黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

2023-2024学年高二下学期开学考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3．已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．-8 C．64 D．-64 4．在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D． 5．平面内动点P在椭圆上，则（O为坐标原点）的最大值为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 6. 等差数列中，，则前项的和（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8.已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．已知直线与，则（    ） A．若，则两直线垂直 B．若两直线平行，则 C．直线恒过定点 D．直线在两坐标轴上的截距相等 10. 在等差数列中，，，为的前n项和，则下列式子一定成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 圆C的圆心为 B. 点在l上 C. l与圆C相交 D. l被圆C截得的最短弦长为4 12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．知抛物线：（），为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．设，，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，平分，则点横坐标为3 C. 若，抛物线在点处的切线方程为 D. 若，抛物线上存在点，使得 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知直线与直线平行，则实数______． 14．数列的前项和为，则 ． 15．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________． 16. 定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______ 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(10分)的三个顶点是，，，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 18. (12分)如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2． （1）求圆C的方程； （2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线方程；若不存在，请说明理由． 19. （12分）已知数列满足， （1）证明是等比数列， （2）求数列的前项和 20. （12分）如图，四棱锥，底面为正方形，平面，为线段的中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 21. （12分）已知等差数列的公差，前3项和，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 22. （12分）已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且． （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的左顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，连接，分别交于轴于点，，且，求直线的方程及的面积． 2023-2024学年高二下学期开学考试 数学试卷答案 1—8 BDDB BDAC 9.AC 10.ABC 11. BCD 12. AC 13. 14. 15. 16. 8091 17．(10分)【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题设，的中点坐标为，则中线的斜率， 则边上的中线所在直线的方程为， 所以上的中线所在直线的方程为. （2）由题设，边的斜率为，则边高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为， 所以上的高所在直线的方程. 18.(12分)【答案】（1）. （2）. 解：（1）因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上， 设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得， 所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为； （2）因为点，有，所以点P在圆C的内部， 假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即， 检验，圆心C到直线AB的距离为 ，所以直线AB与圆C相交， 所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为. 19.（12