第一章 专题三 构造三角函数基本图形解决实际问题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS 数学 第一章　直角三角形的边角关系 专题三　构造三角函数基本图形解决实际问题 类型1构造一个直角三角形 1.如图①所示是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图.已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6 cm，求把手A离地面的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0.94， cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75） 思路分析： 　将题目中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系，若不是直角三角形，应尝试作高或垂线，构造直角三角形进行解答.　⁠ 将题目中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系，若不是直角 三角形，应尝试作高或垂线，构造直角三角形进行解答.　 解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E， ∵ sin∠ABD＝，∴ AD＝AB·sin 70°≈92×0.94＝86.48 （cm）. ∵ DE＝6 cm，∴ AE＝AD＋DE≈92.5 cm.答：把手A离地面的高度约为92.5 cm. 类型2构造双直角三角形 一、叠合型——直角三角形在直线的同侧 2.如图所示，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行 　　⁠时即可到达.（结果保留根号） 　 3.（2023·随州中考）如图所示，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上） （1）求点D到地面BC的距离. （2）求该建筑物的高度AB. 思路分析： 　（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，根据三角函数的定义得到DE＝5米.（2）过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5 m，设BC＝x m，则BE＝DF＝（5＋x）m，解直角三角形即可得到结论. 　⁠ 解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，如图所示.∵sin α＝＝＝，解得DE＝5 m.∴点D到地面BC的距离为5 m. （1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，根据三角函数的定 义得到DE＝5米.（2）过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5 m，设BC＝x m， 则BE＝DF＝（5＋x）m，解直角三角形即可得到结论. 　 （2）过点D作DF⊥AB于点F，如图所示.则BF＝DE＝5 m，设BC＝x m，则BE＝DF＝（5＋x）m，在Rt△ABC中，tan 60°＝＝＝，解得AB＝x m，∴AF＝（x－5）m.在Rt△ADF中，tan 30°＝＝＝，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解且符合题意，∴AB＝×5＝15（m）. ∴该建筑物的高度AB为15 m. 二、叠合型——直角三角形在直线的两侧 4.探究拓展祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量. 项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 ⁠ ⁠ 说明：两侧斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内 测量数据 ∠A的度数 ∠B的度数 AB的长度 38° 28° 234米 … … 测量结果如下表. （1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端C到AB的距离.（参考数据：sin 38°≈0.6，cos 38°≈0.8，tan 38°≈0.8，sin 28°≈0.5，cos 28°≈0.9，tan 28°≈0.5） 解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 设CD＝x米，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝38°. ∵ tan 38°＝，∴ AD＝≈＝x米. 在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠B＝28°. ∵ tan 28°＝， ∴ BD＝≈＝2x米. ∵ AD＋BD＝AB＝234米， ∴ x＋2x＝234. 解得x＝72. 答：斜拉索顶端C到AB的距离为72米. （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目.（写出一个即可） 解：（2）还需要补充的项目可为测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.（答案不唯一