第一章 专题二 解直角三角形的六种常见类型(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS 数学 第一章　直角三角形的边角关系 专题二　解直角三角形的六种常见类型 类型1已知两直角边解直角三角形 1.如图所示，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，且AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC相交于点E，则tan∠CAE＝ 　　⁠. 思路分析： 　连接DE，根据等腰三角形的性质可以得到AE垂直平分CD，再根据全等三角形的判定和性质可以得到∠ADE＝90°，然后根据勾股定理即可得到CE的长，从而可以求得tan∠CAE的值.　⁠ 　 连接DE，根据等腰三角形的性质可以得到AE垂直平分CD，再根据 全等三角形的判定和性质可以得到∠ADE＝90°，然后根据勾股定理即可得到CE 的长，从而可以求得tan∠CAE的值.　 类型2已知一直角边和斜边解直角三角形 2.如图所示，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离. 思路分析： 　利用勾股定理求出BC的长，再求出sin∠BAC.过点B向MC作垂线，利用正弦函数即可求得点B到直线MC的距离.　⁠ 利用勾股定理求出BC的长，再求出sin∠BAC.过点B向MC作垂线， 利用正弦函数即可求得点B到直线MC的距离.　 解：∵在Rt△ABC中，BC＝＝＝5 ，∴sin∠BAC＝＝，过点B作BE⊥MC，垂足是E，如图所示.∴BE＝BC·sin∠BCE＝BC·sin∠BAC＝5×＝. 类型3已知一直角边和一锐角解直角三角形 3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E为线段AB上一动点.若CD＝6，当DE最小时，BE的长度是（　D　） A. B.2 C.3 D.2 思路分析： 　由垂线段最短的性质可得当DE⊥AB时，DE最短，根据题意可知AD为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD＝DE，再解直角三角形可得出结论.　⁠ D 由垂线段最短的性质可得当DE⊥AB时，DE最短，根据题意可知 AD为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD＝DE，再解直角三角形可得 出结论.　 类型4已知斜边和一锐角解直角三角形 4.如图所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在△ABC中，点C（－1，0）.点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，∠ACB＝30°，AC＝AB＝2，过点B作BD⊥x轴于点D，AE平分∠BAD交BD于点E，则点E的坐标为（　B　） A.（2－1，1） B.（3－1，1） C.（3，2） D.（3，1） 第4题图 思路分析： 　由AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，则可求得∠BAD＝60°，利用余弦可求得AD的长度，再由角平分线的定义可得∠EAD＝30°，利用正切即可求DE的长度，从而可得点E的坐标.　⁠ B 由AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，则可求得∠BAD＝60°，利用余弦 可求得AD的长度，再由角平分线的定义可得∠EAD＝30°，利用正切即可求DE 的长度，从而可得点E的坐标.　 类型5已知边和一锐角的三角函数值解直角三角形 5.（2023·安庆月考）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别在BC，AB上，若AC＝8，CD＝2，DE⊥AB，sin B＝，则ED的长度为（　A　） A.3.2 B.4 C.4.5 D.4.8 第5题图 思路分析： 　先根据锐角三角函数求出AB＝10，再根据勾股定理求出BC＝6，最后根据三角形的面积求出ED的长即可.　⁠ A 先根据锐角三角函数求出AB＝10，再根据勾股定理求出BC＝6， 最后根据三角形的面积求出ED的长即可.　 6.（2023·西安碑林区模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，cos∠ABD＝，则△BCD的面积为（　A　） A.9 B.12 C.15 D.18 第6题图 思路分析： 　过点D作DE⊥BC，垂足为E，先利用角平分线的性质可得∠ABD＝∠CBD，根据锐角三角函数可求得BD的长度，利用勾股定理求得DE的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可解答.　⁠ A 过点D作DE⊥BC，垂足为E，先利用角平分线的性质可得∠ABD ＝∠CBD，根据锐角三角函数可求得BD的长度，利用勾股定理求得DE的长度， 然后利用三角形的面积进行计算即可解答.　 7.如图所示，在 Rt△ABC 中，斜边AB＝10，sin A＝，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB 于点M，QN⊥CP 于点N. 第7题图 （1）当AP＝CP时，线段CQ的长是  　4　⁠.