第十八章《平行四边形》专题课件（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（人教版）

综合专题讲解 第十七章 勾股定理 人教版八年级（下） 1 专题一：中点四边形问题 专题二：平行四边形中的折叠问题 专题目录 专题一：中点四边形问题 例1 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形. H G F E D C B A 证明：连接 AC、BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = EH. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. C A B D E F G H 【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形. 又∵AC = BD， ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 理由如下：连接 AC、BD. A B C D E F G H 拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 解：连接 AC、BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 四边形 EFGH 是矩形. 同学们自己证一证吧 思考 我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形. 顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 平行四边形 【应对策略】各边中点顺次连接形成的四边形： 四边形(对角线无特点) →→→→ 平行四边形 矩形(对角线相等) →→→→ 菱形 菱形(对角线垂直) →→→→ 矩形 正方形(对角线相等且垂直)→→→→正方形 例2 已知：在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 BC，AD、BD、AC 的中点， ① 求证：EF与 GH 互相平分； ② 当四边形 ABCD 的边满足________条件时， EF⊥GH. 【分析】(1) 连接 GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理即可证得 EG = FH，GF = EH，则四边形EHFG 是平行四边形，利用平行四边形的性质即可证得； 【解答】解：(1) 连接 GE、GF、HF、EH. ∵ E、G 分别是 BC、BD 的中点， ∴ EG = CD. 同理 FH = CD，FG = AB，EH = AB. ∴EG = FH、GF = EH ∴ 四边形 EHFG 是平行四边形. ∴ EF 与 GH 互相平分. (2)当 EF丄GH 时，四边形 EHFG 是菱形， 此时 GF = FH = HE = EG， ∵ EG = CD，FH = CD，FG = AB， EH = AB， ∴ AB = CD. ∴当四边形 ABCD 的边满足条件 AB = CD 时，EF⊥GH. 分析： EF⊥GH 时能得到四边形 EHFG 四边相等，从而得到四边形 ABCD 的四边相等. ② 当四边形 ABCD 的边满足________条件时， EF⊥GH. 1. 如图，点 D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 的中点，点 O 是△ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，点 F，G分别是 OB，OC 的中点，顺次连接点 D，F，G，E. (1) 求证：四边形 DFGE 是平行四边形； (2) 当 OA⊥DE 时，求证：四边形 DFGE 是矩形； (3) 若四边形 DFGE 是正方形，OA 与 BC 之间满足的 条件是：______________， 练一练 【解答】(1)证明：D、E 是 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC 且 DE = BC， ∵ F、G 是 OB、OC 的中点， ∴ GF∥BC 且 GF = BC. ∴ DE∥GF 且 DE = GF. ∴ 四边形 DFGE 是平行四边形. (2) 证明：由 (1) 知，四边 DFGE 是平行四边形， ∵ D、G 分别是 AB、OB 的中点， ∴ DG∥OA， ∵ OA⊥DE，∴ DG⊥DE. ∴∠GDE = 90°. ∴ 平行四边形 DFGE 是矩形， 所以当 OA⊥DE 时，四边形 DFGE 是矩形. (3) 解：若四边形 DFGE 是正方形，OA 与 BC 之间满足的条件是：OA⊥BC 且 OA = BC, 由(2)可知，当 OA⊥BC 时，四边形 DFGE 是