第十七章 勾股定理 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（人教版）

小结与复习 第十七章 勾股定理 人教版八年级（下） 1 回顾整个单元的学习内容，补充知识结构图： 直角 三角形 性质 判定 角 边 角 边 勾股定理 知识结构图 勾股定理的逆定理 互逆定理 知识回顾 1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边 为 c，那么_____________. a2 + b2 = c2 在直角三角形中才可以运用 2. 勾股定理的应用条件： ___________________________ 一、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， A B C c a b 二、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 2. 勾股数 3. 原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. A B C c a b 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 例1 Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 ( ) A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算 A 分析：在 Rt△ABC 中，BC2 = AB2 + AC2 AB2 + AC2 + BC2 = 2BC2 = 8 A B C 例2 一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为___________. 5 或13 分析：题目没有告诉斜边长，则需要分两种情况讨论： 当斜边长为 3 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2， x2 = 32 - 22 = 5； 当斜边长为 x 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2， x2 = 32 + 22 = 13. 例3 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处. (1) 此时快艇航行了多少米？ 分析：将实际问题转化为几何问题 已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC. 求解： AB 的长. 北 东 O A B 60° 45° C 30° 解：根据题意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米. ∴ AC = 500 米，BC = OC. 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得 ∴ BC = OC = (米). 北 东 O A B 60° 45° C 已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°， ∠COB = 45° ，AB⊥OC. 求解： AB 的长. 30° ∴ AB = AC + BC = (米). (2) 此时快艇距离哨所多少米？ 解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得 北 东 O A B 60° 45° C 分析：将实际问题转化为几何问题，即求 OB 的长. 练一练 1. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面积. 解：∵ a + b = 14， ∴ (a + b)2 = 196. 又∵ a2 + b2 = c2 = 100， ∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96， ∴ ab = 24，即△ABC 的面积为 24 cm2． 2. 如图，在△ABC 中，AB∶BC∶CA = 3∶4∶5，且周长为 36 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 2 cm的速度移动，点 Q 从点 C 沿 CB 边向点 B 以每秒1 cm的速度移动，如果同时出发，则过 3 s时，求 PQ 的长． 解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC 为 5x cm， ∵ 周长为 36 cm，即 AB + BC + AC = 36 cm， ∴ 3x + 4x + 5x = 36，解得 x = 3. ∴ AB = 9 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm. ∵ AB2 + BC2 = AC2，∴ △ABC 是直角三角形，