17.5 第2课时 建立一次函数的模型解决实际问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

17.5 实践与探索 第17章 函数及其图象 2.建立一次函数的模型解决实际问题 优翼八下数学教学课件（HS） 情境引入 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事. 故事梗概为：“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解 的道理. 数学问题也一样哦. 导入新课 如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口吗？说说你的做法！ 10 cm 9 cm 现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义. 下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？ 一次函数模型的应用 新课讲授 奥运会早期，男子撑杆跳高的记录如下表所示： 年份 1990 1904 1908 高度(m) 3.33 3.53 3.73 观察这个表中第二行的数据，你能为奥运会的撑杆跳高记录与奥运会年份的关系建立函数模型吗？ 上表中每一届记录比上一届的记录提高了 0.2 m，可以尝试建立一次函数模型. 用 t 表示从 1900 年起增加的年份，那么，奥运会男子撑杆跳高的记录 y(m) 与 t 之间的函数表达式可以设为 y = kt + b. 由于 t = 0 (即1990年) 时，撑杆跳高的记录为 3.33 m； t = 4 (即1994年) 时，记录为 3.53 m，因此 b = 3.33， 4k + b = 3.53. 解得 k = 0.05， b = 3.33. 于是 y = 0.05t + 3.33. ① 当 t = 8 时，y = 3.73，这说明 1908 年的撑杆跳高记录也符合公式①. 公式①就是奥运会早期男子撑杆跳高记录 y 与 t 之间的函数表达式. 能利用公式 ① 测算 1912 年奥运会男子撑杆跳高记录吗 ？ y = 0.05×12 + 3.33 = 3.93. 实际上，1912 年奥运会男子跳高记录约为 3.93 m. 这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近做预测，结果与实际情况比较吻合. 能利用公式 ① 测算 20 世纪 80 年代，譬如 1988 年奥运会男子撑杆跳高的记录吗？ y = 0.05×88 + 3.33 = 7.73. 然而，1988 年奥运会男子撑杆跳高记录是 5.90 m，远低于 7.73 m. 这表明用所建立的函数模型远离已知数据做预测是不可靠的. 例1 请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系： 指距 x（cm） 19 20 21 身高 y（cm） 151 160 169 (1) 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式； (2) 当小李的指距为 22 cm 时，你能预测他的身高吗？ 典例精析 解：设身高 y 与指距 x 之间的函数表达式为 y = kx + b. 将 x = 19， y = 151 与 x = 20，y = 160 代入上式，得 19k + b = 151， 20k + b = 160. （1） 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式； 解得 k = 9，b = -20. 于是 y = 9x - 20. ① 将 x = 21，y = 169 代入①式也符合. 公式 ① 就是身高 y 与指距 x 之间的函数表达式. 解：当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178. 因此，小李的身高大约是 178 cm. （2） 当小李的指距为 22 cm 时，你能测算他的身高吗？ 小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据： x (厘米) … 22 23 24 25 26 … y (码) … 34 36 38 40 42 … 问1：根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？ 练一练 30 32 38 36 34 42 40 23 25 24 21 22 27 26 y (码) x(厘米) 问2：据说某篮球巨人的鞋子长 31 cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？ 这些点在一条直线上， 如图所示. O 我们选取点（22，34）及 点（25，40）的坐标代入 y = kx + b中，得 22k + b = 34， 25k + b = 40. 解得 k = 2，b = -10. ∴ 一次函数的表达式为 y = 2x - 10. 把 x = 31 代入上式，得 y