精品解析：湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

2021届高三高考第一次模拟考试数学 （试题卷） （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 为了研究某公司工作人员人数x（单位：名）和月销售量y（单位：万元）的关系，从该公司随机抽取10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.若该公司工作人员为25名，据此估计其月销售量为（ ） A. 195 B. 200 C. 205 D. 210 4. 已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥的底面四边形是正方形，侧棱平面，，且直线与平面所成的角的正切值为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 14 D. 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 图象关于点对称 C. 将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 D. 在上的最大值为2 11. 设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（ ） A. 是等差数列，且，公差 B. 是等比数列，且公比满足 C. D. ， 12. 已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 将五名学生和三名老师分成三组参加志愿者服务，要求每个小组至少一名老师，至少一名学生，则不同的分组方法数是________.（答案用数字表示） 14. 已知，则_____． 15. 在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，， 成等差数列，那么__________． 16. 已知椭圆离心率为，为椭圆的右焦点，，是椭圆上的两点，且.若，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 记的内角的对边分别为，，，为边的中点，已知． （1）求； （2）当时，求最大值． 18. 为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． （1）求甲队第二场比赛获胜的概率； （2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望； （3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率． 19. 如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且． （1）证明:平面． （2）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知正项数列前项和为， （1）求值，并求数列的通项公式; （2）设，数列前项和为，求使不等式成立的正整数组成的集合. 21. 已知在平面直角坐标系中，抛物线：焦点为，过点的直线与交于，两点，且． （1）求的标准方程； （2）已知为轴上的点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，当直线的斜率