17.3 一元二次方程根的判别式（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

17.3 一元二次方程根的判别式 第17章 一元二次方程 优翼八下数学教学课件（HK） 问题：老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来快速说出了每个方程的解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 导入新课 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0). 解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 = 问题1：接下来能直接开平方吗？ 一元二次方程根的判别式 导入新课 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ 我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0. 当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 = 当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 = 当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以此时原方程没有实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 要点归纳 按要求完成下列表格： 练一练 Δ 的值 根的情况 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 3. 判别根的情况，得出结论. 1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值； 要点归纳 根的判别式应用方法 2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号； 应用1 用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0. ∵ Δ = 12 - 4×1×(-1) = 5＞0，∴ 该方程有两个不相等的实数根. B 根的判别式的应用 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根. 应用2 根据方程根的情况确定字母的取值范围 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0. B 应用3 不解方程判断一元二次方程的根的情况 例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1) 3x2 + 4x - 3=0； (2) 4x2 = 12x - 9； 解：(1)这里 a = 3，b = 4，c = -3， ∴ Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×3×(-3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． (2)将方程整理，得 4x2 - 12x + 9 = 0. ∴ Δ = (-12)2 - 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． (3) 7y = 5(y2 + 1). 解：将方程整理，得 5y2 - 7y + 5 = 0， ∴ Δ = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0. ∴ 方程没有实数根． 1. 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方