重难点7-1 圆的最值与范围问题（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点7-1 圆的最值与范围问题 与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。 【题型1 圆上一点到定点的最值范围】 满分技巧 圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值。已知圆及圆外一定点，设圆的半径为，则圆上点到点距离的最小值为，最大值为，即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 【例1】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ） A．8 B．9 C． D． 【变式1-1】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D．3 【变式1-3】（2023·上海·高三市实验学校校考阶段练习）若点在圆上运动，为的中点．点在圆上运动，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】（2024·重庆·统考一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型2 圆上一点到直线的最值范围】 满分技巧 圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 【例2】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知直线和圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（2024·广东湛江·统考一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知点为直线上的动点，平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点和点距离的最小值为 ． 【变式2-4】（2024·广东茂名·统考一模）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为 . 【题型3 过圆内定点的最值范围】 满分技巧 过圆内定点的弦长最值：已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径垂直的弦. 【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中学校考期末）设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）直线被圆所截得的弦长的最小值为 . 【变式3-2】（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（ ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】（2023·河南·高三统考阶段练习）过圆内点有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列，且，其中分别为过点的圆的最短弦长和最长弦长，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 . 【题型4 圆的切线长的最值范围】 满分技巧 切线长度的最值求法 1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 【例4】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，