大题04 解析几何（四大经典题型含2024上海一模） -【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题04解析几何 解析几何大题上海高考一般是解答20题，必考题，难度较大。考查形式有四种题型 1． 直线与椭圆的综合 2． 直线与抛物线的综合 3． 直线与双曲线的综合 四．直线与圆锥曲线的综合 题型一：直线与椭圆综合 【例1】（2023•上海）已知椭圆且． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值； （3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则： 直线与椭圆相交⇔Δ＞0； 直线与椭圆相切⇔Δ＝0； 直线与椭圆相离⇔Δ＜0； 【解题方法点拨】 （1）直线与椭圆位置关系的判断方法 ①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断； ②借助直线和椭圆的几何性质来判断． 根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在． （2）弦长的求法 设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则|AB|＝＝（k为直线斜率） 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． （3）中点弦、弦中点常见问题 ①过定点被定点平分的弦所在直线的方程； ②平行弦中点的轨迹； ③过定点的弦的中点的轨迹． 解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点． （4）椭圆切线问题 ①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点； ②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切； ③过椭圆上一点只能作一条切线． （5）最值与范围问题的解决思路 ①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解； ②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解． 在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件． 【命题方向】 1．由已知条件求椭圆的方程或离心率； 2．由已知条件求直线的方程； 3．中点弦或弦的中点问题； 4．弦长问题； 5．与向量结合求参变量的取值． 1．（2023秋•大同期中）椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上．已知面积的最大值为，且与△的面积之比为． （1）求的方程； （2）不垂直于坐标轴的直线交于，两点，，与不重合，直线与的斜率之积为，证明：过定点． 2．（2022秋•咸阳期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上是否存在点使得？若存在，求△的面积，若不存在，请说明理由． 3．（2023秋•四川期中）圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，的蒙日圆方程为． （1）求的方程； （2）若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值． 4．（2023秋•四川期中）已知是椭圆的左顶点，且经过点． （1）求的方程； （2）若直线与交于，，，两点，且，求． 5．（2023秋•灌南县校级月考）已知椭圆的一个焦点为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值及此时直线的方程． 6．（2023秋•武汉月考）椭圆的左顶点为，右顶点为，满足，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点在椭圆的内部，直线和直线分别与椭圆交于另外的点和点，若的面积为，求的值． 7．（2023春•鼓楼区校级期末）已知椭圆的右焦点与抛物线，的焦点重合，的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为4． （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点． 8．（2023秋•通州区期末）已知椭圆的短轴长为2，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为点，，过点的直线与椭圆交于不同两点，，，，且，直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上． 1．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是、，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1． （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：为定值，并求出这个定值； （3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围． 2．（2024•黄浦区校级模拟）已知点、分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，，垂足分别为点、．（1）求证：； （2）求证：为定值，并求出该定值； （3）求的最大值． 3．（2023•吉州区校级一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过点，且． （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与交于点、，求的面