精品解析：天津市和平区耀华中学2024届高三下学期寒假验收考数学试卷

数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（ ） A. 样本容量 B. 图中 C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分 D. 若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等 3. 函数在图像大致为 A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 2 6. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（ ） A 170 B. 168 C. 130 D. 172 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为双曲线上一点，为双曲线C的左、右焦点，若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数（，）的最小正周期为，且.给出下列判断： ①若，则函数的图象关于直线对称 ②若在区间上单调递增，则的取值范围是 ③若在区间内没有零点，则的取值范围是 ④若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则的取值范围是 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上） 10. 已知m，，i是虚数单位，若，则__________． 11. 在二项式的展开式中，的系数为__________． 12. 已知正三棱台中，，圆柱的一个底面经过，，的中点，另一个底面的圆心为的中心，则该圆柱的侧面积为______． 13. 甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件，，，分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则______，______． 14. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则__________；若，的面积为，则当__________时，取得最小值． 15. 已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______． 三、解答题：（本大题共5小㠜，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上） 16. 在中，的对边分别为，已知. （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长. 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 18. 在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，． （1）求证是等比数列，并求数列和的通项公式； （2）设数列满足，的前n项和为，求． 19. 平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上; （ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标． 20. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求a取值范围； （3）对于任意，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，