专题17.1 解一元二次方程（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题17.1 解一元二次方程 · 思想方法 换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。 · 知识点总结 一、直接开平方法解一元二次方程 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 二、配方法解一元二次方程 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 三、公式法解一元二次方程 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 四、因式分解法概念 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. · 典例分析 【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，． 请利用以上方法解下面方程： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 （1）设，则，解得，根据，得出，求解即可； （2）设，则，解得：，分别求解当时，和当时，方程的解即可； （3）设，则，求解，分别求解当时和当时方程 的解即可． 【解题过程】 （1）解：， 设， ， ， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设， ， ， 或， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上：． （3）解：， 设， ， ， ， 或， ， 经检验，，是方程的解， 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 综上：． · 学霸必刷 1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程． （1）（因式分解法） （2）（公式法） 4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程 （1）； （3）． 5．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）； （4） 7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 8．（2023下·八年级课时练习）解方程． 9．（2022下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：． 10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程． 12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程． 13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程： （1）． （2）． 14．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）解方程： （1）； （2）； （3） 15．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题 （1）①方程的解为 ； ②方程的解为 ； ③方程的解为 ； （2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程的解为 ，并用配方法解方程进行验证； （3）根据以上探究得出一般结论：关于的方程的解为 ． 16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基