单元提分专题6 四边形的综合问题－2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷（苏科版）

专题6 四边形的综合问题 1．【探索发现】某兴趣小组在一次数学活动中发现有一组对角互余的四边形具有特殊的性质，通过翻阅资料得知这样的特殊四边形称为对余四边形，即有一组对角互余的四边形称为对余四边形． (1)【猜想验证】若四边形是对余四边形，则与的度数之和为多少，并进行证明； (2)【拓展应用】如图，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 2．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 3．在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点E，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题：    (1)如图2，若，，，求的长； (2)如图3，若，求四边形的面积； (3)如图4，若，，，直接写出的长． 4．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． (2)【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (3)【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 5．已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，联结，将绕点P顺时针方向旋转，得到，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，联结，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，联结、，求证：． 6．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ； (2)如图（1），已知格点(小正方形的顶点) ，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连结，若．四边形是勾股四边形吗？为什么？ 7．综合与实践 问题情境 如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C），延长交于点F，连接． 解决问题 请根据图1完成下列问题： （1）若，则______度； （2）试判断四边形的形状，并给予证明． 拓展探究 （3）如图2，若，请直接写出线段与的数量关系； （4）如图1，若，则的长为______ 8．在矩形中，，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B、点C、点的对应点分别为点、点、点． (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为______． (2)如图②，连接，当点落在线段上时，与相交于点，连接， ①求证： ②线段的长度为______． (3)如图③，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值为______． 9．如图1，已知，在平面直角坐标系中，点为第一象限内的一点，过点B分别作x轴，y轴的平行线交x轴，y轴于点A、C．点D为射线上的一个动点，与关于直线对称，连接． (1)请判断四边形的形状； (2)若，当为直角三角形时，求的长； (3)如图2，若，点，过点A作交的延长线于点H，求的长． 10．解答下列各题． (1)特例探究：如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2)一般探究：如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3)实际应用：如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． 11．【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号) 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长．    12．在菱形中，，E为对角线