单元提分专题5 四边形中线段最值问题－2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷（苏科版）

专题5 四边形中线段最值问题 1．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    2．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．      (1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，在（2）的旋转过程中， ①当为最大值时，则___________． ②当为最小值时，则___________． 3．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 4．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 5．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． (1)求点A的坐标； (2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值． 6．如图，正方形中，点P是线段上的动点． (1)当交于E时， ①如图1，求证：． ②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由； (2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长． 7．平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 8．如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得． (1)如图1所示，当时，=_____度； (2)如图2所示，当时，求线段的长度； (3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，． (1)取的中点，连接，，求的值． (2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？ 10．如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________． 11．如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明） (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值． 12．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形中，，则四边形 是“准筝形”． (1)“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真”或“假”） (2)如图1，在准筝形中，，，，求的长； (3)如图2，在准筝形中，与交于点，点为线段的中点，且，，在线段上存在移动的线段，点在点的左侧，且，当四边形周长最小时，求的长度． 13．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时