考点33 三定及最值-2024年新高考数学艺体生一轮复习

考点33 三定及最值 一．定值问题 (1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 二．定点问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点． (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 三．范围、最值问题 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．　 考点一 定值 【例1】（2024下·广东深圳）已知椭圆：的右焦点坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的倍，直线交椭圆于不同的两点M和N， (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为，点M关于x轴的对称点为，直线，分别与x轴相交于P、Q两点，求证：为定值. 【变式】 1．（2024上·陕西西安 ）设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点. (1)求证：; (2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 2（2024上·四川成都 ）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线. (1)求抛物线焦点的轨迹C的方程； (2)已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值. 考点二 定点 【例2】（2024下·山东德州·高三统考开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过点的动直线与椭圆相交于两点，若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【变式】 1．（2024上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为,、,，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B.试问x轴上是否存在定点Q，使得x轴恰好平分？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（2024上·山东枣庄）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 考点三 定直线 【例3】（2024上·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为. (1)求的标准方程； (2)求的值； (3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上. 【变式】 1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知双曲线，其左、右顶点分别为，其离心率为，且虚轴长为. (1)求双曲线的标准方程； (2)一动点与的连线分别与双曲线的右支交于，两点，且恒过双曲线的右焦点，求证：点在定直线上. 2．（2024上·云南）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 考点四 最值或取值范围 【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，过右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围． 【变式】 1．（2024·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆：经过点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与圆相切，且与椭圆交于两点，求面积的取值范围. 2．（2024上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆方程E：的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D． (1)设直线，的斜率分别为，，证明：为常数； (2)求面积的最大值． 1．（2024上·福建福州）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.