考点32 抛物线-2024年新高考数学艺体生一轮复习

考点32 抛物线 一．抛物线的定义满足以下三个条件的点 (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2.抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　 二．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 三．抛物线最值问题的求法 1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 四．直线与抛物线位置关系 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． 2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． 考点一 抛物线定义及应用 【例1-1】（2024上·山西太原）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【例1-2】（2024上·广东深圳 ）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式】 1．（2024上·江西赣州·高三统考期末）若抛物线上的动点M到其焦点F的距离的最小值为1，则p的值为（    ） 2．（2024下·河南 ）已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（2024上·湖南长沙 ）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 4．（2024上·湖北荆州 ）抛物线：的焦点为，，为抛物线上的点，则三角形周长的最小值为（    ） A．5 B．8 C． D．9 5．（2024上·安徽滁州 ）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点二 抛物线的标准方程 【例2-1】（2024上·河南开封 ）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024上·贵州毕节 ）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）抛物线的准线方程为，那么抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·四川德阳 ）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 考点三 直线与抛物线的位置关系 【例3-1】（2023湖北）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 【变式】 1．（2023河北）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 2．（2023北京）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 考点四 弦长、焦点弦与中点弦 【例3-1】（2024上·广东茂名 ）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．