考点31 双曲线-2024年新高考数学艺体生一轮复习

考点31 双曲线 一．双曲线的定义 条 件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2| M点的轨迹为双曲线 F1、F2为双曲线的焦点 |F1F2|为双曲线的焦距 二．双曲线定义的应用规律 类型 解读 求方程 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程 解焦点三角形 利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题 三.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图 形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 四．等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直． (2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)． 五．直线与双曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程． 例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 6． 弦长与中点弦 1.求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． 2,。联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 七.求双曲线离心率或其取值范围的方法 1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. 2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0. 4.双曲线的渐近线的相关结论 (1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0). (2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b. (3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝. 考点一 双曲线的定义及应用 【例1-1】（2024·江苏常州）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【例1-2】（2024·河南南阳）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【例1-3】（2024·天津）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024·贵州安顺）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 2（2024·云南）双曲线的左右焦点分别为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·陕西西安）已知分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，且，