考点30 椭圆-2024年新高考数学艺体生一轮复习

考点30 椭圆 一．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| 二．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，e∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 三．点与椭圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1； (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 四．直线与椭圆的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程． 例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0. 当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． 五．弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①|AB|＝|x1－x2|=； ②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)= . 六．求椭圆离心率的方法 ①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解． ②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 七．焦点三角形的结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a＋c)． ④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.　 考点一 椭圆的定义及应用 【例1-1】（2024·河南开封）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则 ． 【例1-2】（2023·山东烟台）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【例1-3】（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（2023上·福建宁德·高二统考期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】 1．（2024·湖北）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．6 2（2023·广东广州·华南师大附中模拟预测）已知椭圆：，点，在椭圆上且在轴异侧，，分别为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（    ） A．8 B．4 C．3 D． 3．（2022·全国·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 4．（2024湖南）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 考点二 椭圆的标准方程 【例2-1】（2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2-2】（2024广东潮州）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. (3)焦点在轴上，且经过两个点和； (4)经过点. 【变式】 1．（2024·贵州毕节）“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件