考点29 直线与圆的方程 -2024年新高考数学艺体生一轮复习

考点29 直线与圆的方程 一．斜率与倾斜角 1．直线的倾斜角 (1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝. 3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0 k＞0 不存在 k＜0 4.常考题型 （1）求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k＝tan α的取值范围． ②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． (2)斜率的求法 ①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率． ②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率． 2． 直线方程 1.直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 在x轴、y轴上截距分别a，b ＋＝1(a≠0，b≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 2.求直线方程的两种常用方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论． (2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． 三．两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线的位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 平行 k1＝k2 k1与k2都不存在 垂直 k1k2＝－1 k1与k2一个为零、另一个不存在 四．由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 五．两直线的交点-----联立方程 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 设方程组有唯一一组解(x0，y0)，即为两直线l1与l2的交点坐标． 六．三种距离 点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 线线距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 七．对称问题 1.解决对称问题应抓住以下两点 (1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直． (2)已知点和对称点为端点的线段的中心在对称轴上． 八．圆 1.圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心(a，b) 半径为r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 条件：D2＋E2－4F>0 圆心： 半径r＝ 2.求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 九．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 (2)