2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（特殊四边形问题）

2024年九年级数学中考专题训练： 二次函数综合（特殊四边形问题） 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线上方的抛物线上的一动点（点不与点重合），连接，设四边形的面积为，求的最大值； (3)若点在平面直角坐标系内一点，则在抛物线上是否存在一点，使得以四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当的值最小时，求点M的坐标； (3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，求的最大面积； (4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知，抛物线经过点、点，且交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，P为抛物线对称轴上的一点，N是新抛物线上的动点，M点坐标为（2）中所求坐标，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标． 5．（1）已知抛物线经过原点O，其顶点P的坐标为．求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若抛物线与x轴交于另一点E，过O，E两点作开口向下的抛物线，设其顶点为Q（点Q在点P的下方），线段的垂直平分线与抛物线相交于M，N两点，若四边形的面积为时，求抛物线的函数表达式； （3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，且与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A，B两点，连接，过点P作轴于点，在直线上有一点C，坐标平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的D点的坐标：______． 6．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． 7．如图，已知直线与抛物线交于A、D两点且A点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，点是线段的中点，连接，以和为一组邻边作． (1)求，的值； (2)当点在直线 上方的抛物线上时，求口面积的最大值及此时点的坐标； (3)当点落在坐标轴上时，请直接写出点的坐标． 9．如图，已知抛物线的顶点的坐标为，抛物线与坐标轴分别交于、、三点，且的坐标为，连接、，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)是轴上的一点，过点作轴的垂线，与交于，与交于，若线段把的面积分成相等的两部分，求点的坐标； (3)若点在直线上，点在平面上，直线上是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边