湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年 高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．（    ） A． B．1 C． D．2 3．若数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（    ） A． B． C． D． 5．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 6．若直线与直线互相平行，那么的值等于（    ） A．1或0 B． C．0 D．0或 7．如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．已知椭圆的左､右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，以下命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．数列是公差为的等差数列 C．是4的倍数 D． 10．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（    ） A．它的表面积为 B．它的外接球的表面积为 C．侧棱与下底面所成的角为60° D．它的体积比棱长为的正方体的体积大 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．的面积为 C．内切圆半径为 D．的内心在直线上 三、填空题 13．已知，用割线逼近切线的方法可以求得 . 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 15．已知空间三点，，，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 16．设数列满足，，记，则使得成立的最小正整数n是 . 四、解答题 17．在正项等比数列中，，且，的等差中项为． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为． 18．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，，以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两点，点D为椭圆上一点，且四边形OADB为平行四边形，求的面积． 19．设抛物线C：（）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于，两点，且． （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知点，且的面积为，求k的值． 20．刍甍（chumeng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于．    (1)求证：； (2)若平面平面，，求平面和平面夹角的余弦值． 21．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求k的值． 22．已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据平均变化率的计算即可求解. 【详解】在区间上的平均变化率为， 故选：A 2．C 【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案. 【详解】， 故选：C 3．A 【分析】用累乘法求出数列的通项公式，进而求出. 【详解】解：由题意， ， 在数列中，， ∴. 故选：A. 4．D 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得. 故选：D. 5．B 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得. 【详解】抛物线的焦点，准线， 过点作于，垂直于直线于点，显然， 点到直线的距离， 则， 当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B    6．D 【解析】