2024年九年级中考数学讲义 与二次函数相关的压轴大题

目录 铅锤法求面积 2 “平行线”巧算面积的存在性问题 6 等腰三角形的存在性问题 13 （等腰）直角三角形的存在性问题 18 平行四边形的存在性问题 27 相似三角形的存在性问题 32 课后练习 40 铅锤法求面积 知识点讲解：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间这条直线的在△ABC的内部的线段h的长度叫做△ABC的“铅垂高”。我们可以得到三角形面积的新方法(铅垂法)︰ S△ABC= ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 实战基地： 1、如图，抛物线与x轴交与A(1，0)，B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若没有，请说明理由． 2、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），C（0，3） （1）求该抛物线的表达式； （2）求BC的解析式； （3）点M是对称轴右侧点B左侧的抛物线上一个动点，当点M运动到什么位置时，△BCM的面积最大？求△BCM面积的最大值及此时点M的坐标． 3．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）．B（2，0）．C（0，2）三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标． “平行线”巧算面积的存在性问题 知识点讲解：在二次函数求面积的最大值时，我们学过“铅锤法”；这里就不细讲铅锤法了。这里主要研究面积固定时，怎么快速求解出点的坐标？在这里讲的是一种平行线的方法。 实战基地： 1、如图,矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物物线y=x2-6x+10滑动，在滑动过程中CD∥x轴，CD=1，AB在CD的下方.当点 D在y轴上时，AB落在x轴上.当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成的两部分的面积比为1:4时,求点C的坐标. 2、如图,在梯形ABCD中,AD//BC，E、F 分别为 AB、DC的中点，AB=4，∠B=60°. (1)求点E到BC 边的距离. (2)点P为线段EF上的一个动点，过P作P M⊥BC，垂足为M，过点M作MN平行AB交线段AD于点N，连接PN.探究:当点 P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化?若不变，请求出△PMN的面积;若变化,请说明理由. 3、如图所示,已知扇形AOB 的半径为2,圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,求四边形ODCE的面积的最大值。 4、如图所示，二次函数y=(x+m)2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1，-4). (1)求A、B两点的坐标. (2)设直线AM与y轴交于点C，求△BCM 的面积. (3)在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BCM?如果存在，求出点P的坐标如果不存在，请说明理由. 5、如图,抛物线y=x2-6x+5与x轴交于A、Bi两点，与y轴交于点C，设在直线BC下方的抛物线上有一点Q，若S△BCQ=15,试求出点Q的坐标. 6、如图1若一次函数y=-3x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A、B、C 三点. (1)求二次函数的表达式. (2)如图1过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧),若BC恰好平分∠DBE,求直线BE的表达式. (3)如图2,若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC手点F，连接 BP,S△BFP=mS△BAF. ①当m=0.5时,求点P的坐标; ② 求m 的最大值. 7、如图，抛物线y=mx2+(m2+3)x-(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C,已知B(3，0). (1)求m的值和直线BC对应的函数表达式. (2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC,请直接接写出点P的坐标. (3)Q为抛物线上一点，∠ACQ=45°，求点Q 的坐标. 等腰三角形的存在性问题 知识点讲解：如果△ABC为等腰三角形，一般来说分三种情况讨论：①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC。因此，在解决等腰三角形存在性问题时，通常需要进行分类讨论，这类问题通常有两种方法： 几何法与代数法。 1、 几何法： （1） 两定一动点：可采用“两圆一中垂”的方法快速找出点，再根据几何的相关知识求解； （2） 一定两动点：把三种情况对应的图全部都画出来，再根据几何的相关知识求解； 注：常见的几何相关知识有：全等三角形，相似三角形，锐角三角形函数，勾股定理，特殊角，三线合一等。 2、 代数法： 代数工具：两点坐标距