精品解析：湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2021届高三第二次模拟考试数学试题

2021届高三高考第二次模拟考试数学 （试题卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． （满分：150分，时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. ， D. ，0， 2. 若为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是偶函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 7. 在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例： 用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A. 54周岁以上参保人数最少 B. 18～29周岁人群参保总费用最少 C. 丁险种更受参保人青睐 D. 30周岁以上的人群约占参保人群20% 10. 已知圆，则（ ） A. 圆可能过原点 B. 圆心在直线上 C. 圆与直线相切 D. 圆被直线所截得弦长为 11. 在中，，，，如图所示，将绕逆时针旋转120°至处，则（ ） A. 在旋转过程中，点运动的轨迹长度为 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成的角为90° D. 直线与平面所成角的正弦值为 12. 已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（ ） A. B. C. 的最大值是 D. 的最大值是 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知，，与的夹角为，且，则_________． 14. 将标有1，2，3，4，5，66个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）. 15. 三棱锥中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为__________. 16. 已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 18. 已知等差数列的前项和满足是等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前20项和. 19. 如图，在等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 20. 甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响． （1）经过一轮踢球，记甲的得分为，求的分布列及数学期望； （2）若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后，甲累计得分高于乙累计得分的概率，求． 21. 已知椭圆的右焦点为，点A，B在椭圆C上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点D． （1）求椭圆C标准方程； （2）已知O为坐