4.5.2 第2课时 球的表面积和体积（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第2课时　球的表面积和体积(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．理解球的大、小圆，直线与球相切的意义． 2．掌握球的表面积与体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题． 题型(一)　球的截面 1．球的截面形状 (1)当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； (2)当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆． 2．球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面． (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式： d＝. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示．若设球的半径为R，以O′为圆心的截面的半径为r，OO′＝d.则在Rt△OO′C中，有OC2＝O′C2＋OO′2，即R2＝r2＋d2. [典例1]　在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的表面积． [解]　(1)若两截面位于球心的同侧． 如图1所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1cm. 由πr＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)， 由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)． 在Rt△OB1C1中，OC1＝＝， 在Rt△OBC中，OC＝＝. 由题意可知OC1－OC＝9，即－＝9， 解得R＝25. S球＝4πR2＝2 500π(cm2)． (2)若球心在截面之间， 如图2所示，OC1＝， OC＝. 由题意可知OC1＋OC＝9， 即＋＝9. 整理，得＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在． [方法技巧] 空间向平面的转化 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)球到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r＝. 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径． [针对训练] 1.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为(　 ) A．20π B．16π C．12 D．8 解析：选A　设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即为2，根据截面圆的周长为2π可得2π＝2πr，解得r＝1，由题意知R2＝12＋22＝5，∴该球的表面积为4πR2＝20π.故选A. 题型(二)　与球有关的简单组合体 题点(一)　球与正(长)方体的切接问题 处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题． (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． [典例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． [解]　设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图(1)所示． 所以2r1＝a，r1＝，S1＝4πr＝πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)． 所以2r2＝a，r2＝a， 所以S2＝4πr＝2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示． 则2r3＝a，∴r3＝a，S3＝4πr＝3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 题点(二)　球与其他多面体的切接问题 特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝. [典例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　 ) A．πa2 B．πa2 C.πa2 D．5πa2 [解析]　如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝， ∴AO＝a2＋a2＝a2， 故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2. [答案]　B 题点(三)　球与旋转体的切接问题 球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． [典