4.3.2 第3课时 距离及直线与平面所成的角（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第3课时　距离及直线与平面所成的角 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．了解点到平面的距离，直线和平面的距离的概念． 2．了解直线和平面所成角的概念．利用线面关系寻找直线与平面所成角．会求直线与平面所成的角． 1．两种距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足之间的距离，叫作这个点到这个平面的距离． (2)直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离． 2．直线与平面所成的角 (1)相关概念： 如图，①斜线：一条直线l与一个平面α相交，但不与平面α垂直，则直线l称为平面α的一条斜线． ②斜足：斜线l与平面α的交点A称为斜足． ③投影：过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影． (2)直线与平面所成角的定义：平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． (3)取值范围：直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°. 题型(一)　距离问题 [典例1]　如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． 　 [解]　(1)证明：∵PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点， ∴OP⊥AC，且OP＝2. 连接OB，如图， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，∴OB＝AC＝2， ∵OP2＋OB2＝PB2，∴OP⊥OB. 又∵OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC. (2)作CH⊥OM，垂足为H，由(1)可得OP⊥CH， 又OM∩OP＝O，OM⊂平面POM，OP⊂平面POM，∴CH⊥平面POM，∴CH的长即为点C到平面POM的距离． 由题设可知，OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°， 由余弦定理得OM2＝OC2＋CM2－2OC·CM·cos 45°＝4＋－2×2××＝， 即OM＝， ∴CH＝＝， ∴点C到平面POM的距离为. [方法技巧] (1)从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求空间图形的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． [针对训练] 1．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5. (1)求点B1到平面A1BCD1的距离； (2)求B1C1到平面A1BCD1的距离． 解：(1)如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E. 由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1， ∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BCD1，A1B⊂平面A1BCD1， ∴B1E⊥平面A1BCD1， ∴线段B1E的长即为所求． 在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝， ∴点B1到平面A1BCD1的距离为. (2)∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1， BC⊂平面A1BCD1， ∴B1C1∥平面A1BCD1. ∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求， ∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 题型(二)　直线与平面所成的角 [典例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． 　 (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． [解]　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝， 又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. [方法技巧] 求解直线和平面所成角的一般步骤 求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影，基本步骤为 (1)作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，准确确定垂足的位置