2.3 第1课时 半角公式（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.3　简单的三角恒等变换 　　　　　　　　　第 1 课时　半角公式(强基课—梯度进阶式教学) 1.能用二倍角公式推导半角公式，了解半角公式的结构形式． 2．能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题． 正弦、余弦、正切的半角公式 三角函数 公式 正弦 sin＝± 余弦 cos＝± 正切 tan＝± ＝＝ 微点助解 关于半角公式的几点说明 (1)理解半角的含义 角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角． (2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法 ①若给出的角已确定其终边所在的象限，则可根据下表确定符号. α sin cos tan 第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 第四象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 　②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号． ③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 15°＝± .(　 ) (2)cos 15°＝ .(　 ) (3)tan＝.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知180°＜α＜360°，则cos的值为(　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选C　因为cos2＝，180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°.所以cos＝－. 3．tan 15°等于(　 ) A．2＋ B．2－ C.＋1 D．－1 解析：选B　由tan＝，得tan 15°＝＝2－. 题型(一)　利用半角公式求值 [典例1]　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin，cos，tan. [解]　∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角． 当为第二象限角时， sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝－＝－； 当为第四象限角时， sin＝－＝－， cos＝＝， tan＝－＝－. [方法技巧] 利用半角公式求值的思路 (1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值．　 [针对训练] 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　因为α为锐角，所以sin>0，sin＝＝. 2．已知α为锐角，cos α＝，则tan＝(　 ) A. B． C．2 D．3 解析：选D　∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝. ∴tan＝＝＝. ∴tan＝＝＝3. 题型(二)　三角函数式的化简 [典例2]　化简： (－π<α<0)． [解]　原式 ＝ ＝ ＝＝. 因为－π<α<0，所以－<<0.所以sin<0. 所以原式＝＝cos α. [方法技巧] 探究三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．　 [针对训练] 3．设α∈，化简： . 解：∵α∈，∈，∴cos α>0，cos<0.故原式＝＝＝＝＝－cos. 题型(三)　三角恒等式的证明 [典例3]　求证：＋＝. [证明]　法一：左边＝＋＝＋ ＝＝＝右边．所以原式成立． 法二：左边 ＝ ＝＝＝＝右边． 所以原式成立． [方法技巧]　三角恒等式证明的5种常用方法 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同 比较法 设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1” 分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立 [针对训练] 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证：＝. 证明：因为cos A＝， 所以1－cos A＝， 1＋cos A＝. 所以＝. 而＝＝tan2， ＝＝tan2， 所以tan