2.1.2 两角和与差的正弦公式（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.1.2　两角和与差的正弦公式(强基课—梯度进阶式教学) 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式． 2．能够运用两角和与差的正弦、余弦解决求值、化简等问题． 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin__αcos_β＋cos_αsin_β 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β 微点助解 (1)公式中的角α，β都是任意角． (2)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin(α±β)≠sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用 ①公式的逆用：如sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α. ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，如sin(α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦公式中，角α，β是任意的．(　 ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．(　 ) (3)sin 54°cos 24°－sin 36°cos 66°＝.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．sin(30°＋45°)＝________. 解析：sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝. 答案： 题型(一)　给角求值 [典例1]　(1)＝(　 ) A．－ B．1 C. D．2 (2)化简：sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]＝________. [解析]　(1) ＝ ＝ ＝ ＝＝2sin 60°＝. (2)原式＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋α＋β)－sin (α＋β－α)]＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos a－×2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β. [答案]　(1)C　(2)sin β [方法技巧] 解决给角化简与求值问题的思路 (1)化简．三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦． (2)求值．运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin(60°－45°)＝；二是逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝；三是进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β.　　 [针对训练] 1．sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝(　 ) A．－ B．－ C. D． 解析：选D　sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝sin(18°＋12°)＝sin 30°＝. 2.－的值为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B　－＝－＝＝＝ ＝＝4. 题型(二)　给值(式)求值 [典例2]　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值. [解]　∵cos(α－β)＝>0，<β<α<， ∴0<α－β<.∴sin(α－β)＝. 又sin(α＋β)＝－，π<α＋β<， ∴cos(α＋β)＝－. ∴sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－. [方法技巧] 给值(式)求值的解题策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　　 [针对训练] 3．设α∈，若sin α＝，则sin的值为(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　∵α∈，sin α＝，∴cos α＝.∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.故选A. 4．已知α，β均为锐角