2.1.2 两角和与差的正弦公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

2.1.2　两角和与差的正弦公式 基础过关练 题组一　利用两角和与差的正弦公式求值 1.(2025甘肃武威六中阶段测试)sin 735°·cos 45°+sin 105°sin 135°=(　　) A.　　B.　　 C.　　D.1 2.已知θ为锐角,且sin(θ+30°)=,则sin θ=(　　) A.　　B. C.　　D. 3.(2025黑龙江哈尔滨六校期末联考)已知角α的终边上一点P(3,-4),则sin=(　　) A.-　　B.　　 C.　　D. 4.(2025北师大二附中期中)在△ABC中,A=,cos B=,则sin C=(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 5.已知cos θ=,则sin的值为　　　　,sin的值为　　　　.  6.(2025甘肃兰州第二中学月考)=　　　　.  7.已知sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值. 题组二　利用两角和与差的正弦公式求角 8.已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 9.(2024江苏扬州新华中学期中)已知α,β为三角形的两个内角,cos α=,sin(α+β)=,则β=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 10.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)·sin(A+C),则△ABC的形状一定是(　　) A.等边三角形 B.不含60°角的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 11.(2024内蒙古名校联盟期中联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin Acos C=sin B+cos A,则A=　　　　.  能力提升练 题组一　利用两角和与差的正弦公式求值 1.(2025山东济宁月考)已知0<α<,0<β<,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.在△ABC中,D为边AC上一点,满足=2,若2ccos∠ABC+bcos∠A=acos(∠A+∠C),c=2,a=4,则||=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2025甘肃平凉月考)若α∈,tan α=,则sin=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.计算:sincos-cos·sin=　　　　.  题组二　利用两角和与差的正弦公式求角 5.(2025江苏南京一中月考)已知α∈,β∈,sin β=-,且cos(α-β)=,则α的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2025安徽合肥八中月考)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知+=,则A的取值范围是　　　　.  7.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且bcos A=sin A(acos C+ccos A). (1)求角A的大小; (2)若a=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 8.设函数f(x)=msin(ωx+φ),其中m>0,ω>0,|φ|<,其图象的两条对称轴间的距离最短是,若f(x)≥f对任意x∈R成立,且f=-2. (1)求f(x)的解析式; (2)在锐角△ABC中,A,B,C是△ABC的三个内角,满足f=sin(A-B)-cos(A-B),求B的取值范围. 答案与分层梯度式解析 2.1.2　两角和与差的正弦公式 基础过关练 1.C 2.A 3.D 4.A 8.B 9.B 10.D 1.C　sin 735°cos 45°+sin 105°sin 135° =sin(720°+15°)cos 45°+sin(90°+15°)sin(180°-45°) =sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45° =sin(15°+45°)=sin 60°=. 2.A　∵sin(θ+30°)=,且θ为锐角, ∴cos(θ+30°)=, ∴sin θ=sin[(θ+30°)-30°]=sin(θ+30°)cos 30°-cos(θ+30°)sin 30°=×-×=. 3.D　∵点P(3,-4)是角α终边上一点, ∴cos α==,sin α==-, ∴sin=sin cos α+cos sin α=×+×=. 4.A　因为cos B=且B为三角形的内角,所以sin B=.又A=,所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin cos B+cos sin B=×+×=. 5.答案　; 解析　因为cos θ=, 所以sin θ==, 所以sin=sin θcos +cos θsin =×+×=, sin=sin θcos -cos θsin =×-×=. 6.答案　 解析　 = = ==sin 30°=. 7.解析　∵0<α<<β<, ∴<+α<π,-<-β<0. 又∵sin=,cos=, ∴cos=-,sin=-, ∴cos(α+β)=sin =sin- =sincos-cossin =×-×=-. 8.B　∵α,β均为锐角,且sin α=,cos β=, ∴cos α=,sin β=, ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. ∵α,β均为锐角,∴-<α-β<, ∴α-β=-. 9.B　∵α,β为三角形的两个内角,且0<cos α=<, ∴<α<, ∴sin α==, 又sin(α+β)=<,<α<α+β, ∴<α+β<π, 则cos(α+β)=-=-, 故sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α=×-×=, ∵α>,α+β<π,∴β=. 10.D　∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C), ∴sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B, ∴sin Acos B+cos Asin B=1,∴sin(A+B)=1, ∴sin C=1,又0°<C<180°,∴C=90°, ∴△ABC为直角三角形. 11.答案　 解析　因为A+B+C=π,所以sin B=sin(A+C), 则sin Acos C=sin B+cos A=sin(A+C)+cos A=sin A·cos C+cos Asin C+cos A,即cos Asin C+cos A=0, 求解关键是根据三角形内角和定理消去角B. 即(sin C+1)cos A=0, 因为C∈(0,π),所以sin C+1>0,则cos A=0,又A∈(0,π),所以A=. 能力提升练 1.C 2.C 3.A 5.B 1.C　∵0<α<,0<β<,∴α+β∈(0,π), 又cos(α+β)=,∴sin(α+β)==, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, 又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=, ∴sin αcos β=,cos αsin β=, 则===. 2.C　由2ccos∠ABC+bcos∠A=acos(∠A+∠C)及正弦定理,得2sin∠Ccos∠ABC+sin∠ABCcos∠A=-sin∠Acos∠ABC, 所以2sin∠Ccos∠ABC=-sin(∠A+∠ABC)=-sin∠C,而sin∠C≠0,所以cos∠ABC=-, 由=2,得-=2(-), 所以=+, 所以==++||·||cos∠ABC=+-=, 所以||=. 3.A　tan α==, 则sin α(3-sin α)=cos2α=1-sin2α,整理可得sin α=, 因为α∈,sin2α+cos2α=1, 所以cos α==, 所以sin=sin αcos +cos αsin =×+×=. 4.答案　 解析　原式=sincos-sin·cos=sin=sin-=sin cos -cos sin =×-×=. 5.B　因为β∈,sin β=-, 所以cos β=. 因为α∈,β∈, 所以α-β∈(0,π), 因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=, 所以sin α=sin(α-β+β)=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=×+×=, 又因为α∈,所以α=. 6.答案　 解析　由正弦定理知+===, ∵sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C), ∴sin2A=sin Csin B,∴a2=bc, 由余弦定理知cos A=≥=, 当且仅当b=c时等号成立, 又A∈(0,π),∴A∈. 7.解析　(1)由bcos A=sin A(acos C+ccos A)及正弦定理,得sin Bcos A=sin A(sin AcosC+sin Ccos A)=sin Asin(A+C)=sin Asin B, ∵sin B≠0,∴cos A=sin A,∴tan A=, ∵A∈(0,π),∴A=. (2)∵A=,△ABC的面积为, ∴bcsin A=bc=,∴bc=5, 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=(b+c)2-15=12, ∴b+c=3, ∴△ABC的周长为a+b+c=2+3=5. 8.解析　(1)因为函数f(x)图象的两条对称轴间的距离最短是, 所以函数f(x)的最小正周期为π,所以ω=2. 因为f(x)≥f对任意x∈R成立,且f=-2,m>0, 所以m=2,-+φ=-+2kπ(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=-, 所以f(x)的解析式为f(x)=2sin. (2)由f=sin(A-B)-cos(A-B), 得sin=sin(A-B)-cos(A-B) =cos sin(A-B)-sin cos(A-B) =sin, 所以B-=A-B-或B-+A-B-=π(舍去), 所以A=2B. 又因为△ABC为锐角三角形, 所以所以<B<. 故B的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $