1.4.2 向量线性运算的坐标表示（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．4.2　向量线性运算的坐标表示(强基课—梯度进阶式教学) 　 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的运算． 2．能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题． (一)平面向量线性运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘向量 一个实数λ与向量a的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标 λa＝(λx1，λy1) 重要结论 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1) [基点训练] 1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则2b－a等于(　 ) A．(－2,1)　　　　　 B．(5，－1) C．(5,0) D．(4,3) 答案：C 2．已知点A(2，－2)，点B(4,1)，则向量＝________. 答案：(2,3) (二)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 微点助解 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算． (3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． [基点训练] 1．下列各对向量中，共线的是(　 ) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝(，－1)，b＝(1，) D．a＝(1，)，b＝(，2) 答案：D 2．已知a＝(－1,2)，b＝(3，y)，且a∥b，则y＝________. 答案：－6 题型(一)　向量的坐标运算 [典例1]　(1)(多选)已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，下列计算正确的是(　 ) A．a＋b＝(－1,4) B．a－2b＝(5,1) C．b－a＝(1,2) D．－a－b＝(1,2) (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，则的坐标为________． [解析]　(1)因为a＝(1,3)，b＝(－2,1)，所以a＋b＝(－1,4)，故A正确；a－2b＝(5,1)，故B正确；b－a＝(－3，－2)，故C错误；－a－b＝(1，－4)，故D错误． (2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)．所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2.所以M(0,20)，N(9,2)，＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． [答案]　(1)AB　(2)(9，－18) [方法技巧] 利用向量线性运算的坐标表示解题的基本思路 (1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用． (2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解． (3)利用坐标运算求向量的基表示，一般先求出基向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数． [针对训练] 1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　 ) A．(－23，－12)　　　　　 B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析：选A　∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)． 2．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，则c用向量a，b可表示为________． 解析：设c＝pa＋qb(p，q∈R)， ∵a＝(－1,2)，b＝(1，－1)， ∴c＝pa＋qb＝p(－1,2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q)．又∵c＝(3，－2)， ∴ 解得故c＝a＋