12.3 复数的几何意义（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

12.3　复数的几何意义(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题． 3．了解复数加、减运算的几何意义． (一)复平面与复数的几何意义 1．复平面 我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面， x轴叫作实轴， y轴叫作虚轴． 2．复数的几何意义 3．复数的模 (1)定义：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|. 如果b＝0，那么z＝a＋bi就是实数a，它的模等于|a|(即实数a的绝对值)． (2)计算公式：|z|＝|a＋bi|＝. [基点训练] 1．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝(　 ) A．2 B．5 C. D．4 答案：C 2．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为(　 ) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) 解析：选A　复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)． 3．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为(　 ) A．0 B．－5 C．－5i D．5 解析：选C　对应的复数＝0－5i＝－5i. (二)复数加法、减法的几何意义 1．加法的几何意义 如图，设向量，分别与复数a＋bi，c＋di对应，且，不共线，以，为两条邻边画▱OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．这就是复数加法的几何意义． 2．减法的几何意义 如图，若向量，分别与复数z1，z2对应，则它们的差z1－z2对应着向量－，即向量.如果作＝，那么点Z对应的复数就是 z1－z2.这就是复数减法的几何意义． 3．复数模的几何意义 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，故|z1－z2|＝||＝||＝. 这表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离． [基点训练] 1．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为______． 解析：＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 答案：1－i 2．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________. 解析：＝－＝－(＋) ＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 答案：4－4i 题型(一)　复数与复平面内的点、向量的关系 [典例1]　(1)已知z＝(2＋i)i，其中i为虚数单位，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　 ) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i [解析]　(1)因为z＝2i＋i2＝－1＋2i，所以＝－1－2i.所以对应的点(－1，－2)位于第三象限．故选C. (2)因为向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，所以＝(5，－4)，＝(－5,4)．所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)．所以＋对应的复数是0.故选C. [答案]　(1)C　(2)C [方法技巧] 1．利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 2．复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　　 [针对训练] 1．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________． 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)．又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i. 答案：－6－8i 2．已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点： (1)位于第四象限； (2)在实轴负半轴上； (3)位于上半平面(含实轴)? 解：(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限，需满足 ∴∴－7<m<