12.3 复数的几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点及向量的对应、模的概念与几何意义、加减法的几何意义。课堂导入从复数代数形式切入，通过复平面建立数与形的联系，搭建从代数到几何的学习支架。 其亮点是结合题型分析（如复数与点的对应、模的最值问题）和跟踪训练，以几何直观（数学眼光）和逻辑推理（数学思维）强化数形结合。例如例4将模的条件转化为距离问题，培养学生用数学语言表达的能力。学生能深化理解，教师可高效教学。

第12章　复数 12.3　复数的几何意义 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解复数的几何意义. 2.掌握复数的模的概念,会求复数的模. 3.了解复数的加法、减法的几何意义. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　复平面 我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴. 知识点二　复数的几何意义 知识点三　复数的模 1.向量的模叫作复数z=a+bi的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值).由模的定义可知,|z|=|a+bi|=. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离,这是复数的模的几何意义. 3.复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部. 知识点四　复数的加法与减法的几何意义 如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di对应的向量分别为,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是,与z1-z2对应的向量是. 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若|z1|=|z2|,则.(　　) (2)若|z1|≤1,则-1≤z1≤1.(　　) × × 题型分析·能力素养提升 【题型一】复数与复平面内点的对应 例 1 [链接教材例1]当实数m取什么值时,复数z=2m+(4-m2)i在复平面内对应的点: (1)位于虚轴上? (2)位于第一、三象限? 解 复数z对应点的坐标为(2m,4-m2), (1)若点位于虚轴上,则2m=0,解得m=0. (2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限, 则2m(4-m2)>0,解得m<-2或0<m<2. 题后反思　利用复数与点的对应关系的解题步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法,即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的依据. (2)列出方程(组)或不等式(组):此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 跟踪训练1 若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,且z1=2-i,则复数=(　　) A.-1 B.1 C.-i D.i C 解析 因为z1=2-i,z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,则z2=-2-i, 所以=-i.故选C. 【题型二】复数与复平面内向量的对应 例 2 在复平面内,已知平行四边形OABC,顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求: (1)所表示的复数; (2)对角线所表示的复数; (3)对角线所表示的复数及的长度. 解 (1)由已知得O(0,0),A(3,2),所以=(-3,-2),故所表示的复数为-3-2i. (2)由已知得C(-2,4),所以=(5,-2),故对角线所表示的复数为5-2i. (3)由已知得,=(3,2),=(-2,4),因为对角线, 所以=(1,6),所以对角线表示的复数为1+6i,的长度为 跟踪训练2 (多选题)在复平面内,已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,关于复数z的说法正确的有(　　) A.z=1+i B.z=-1+i C.z=1-i D.z=-1-i BD 解析 如图,设点Z的坐标为(a,b),因为||=|z|=2,∠xOZ=120°,所以a=-1, b=±,即点Z的坐标为(-1,)或(-1,-),所以z=-1+i或z=-1-i.故选BD. 【题型三】复数加法与减法的几何意义 例 3 [链接教材练习,T5]已知在平行四边形ABCD中,对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于点O.求: (1)对应的复数; (2)对应的复数; (3)△AOB的面积. 解 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,,, =(1+4i)-(3+2i)=-2+2i, 对应的复数是-2+2i. (2)=(3+2i)-(-2+2i)=5,对应的复数是5. (3)=-=(-,-2), =(,0), =-,又∵||=,||=, ∴cos∠AOB==-, ∴sin∠AOB=, 故S△AOB=|||sin∠AOB=,即△AOB的面积为 题后反思　运用复数加、减运算的几何意义的解题策略 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 跟踪训练3 已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若 |z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 B 解析 设z1=a+bi,z2=c+di,则A(a,b),B(c,d),z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2= (a-c)+(b-d)i,所以|z1+z2|=,|z1-z2|=,若|z1+z2|=|z1-z2|,则ac+bd=0,所以=(a,b)·(c,d)=ac+bd=0, 所以,则△AOB为直角三角形.故选B. 【题型四】与复数模有关的最值问题 例 4 (1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D. A 解析 复数z满足|z+i|+|z-i|=2,则复数Z表示的点到(0,1),(0,-1)两点的距离之和为2,而(0,1),(0,-1)两点间的距离为2,设A为(0,1),B(0,-1),则Z表示的点的集合为线段AB,|z+i+1|的几何意义为点Z到点C(-1,-1)的距离,分析图形(如图)可得,Z在点(0,-1)时,|z+i+1|取得最小值,且其最小值为1. (2)若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值. 解 由于|z++i|≤1,即|z-(--i)|≤1,因此复数z对应的点Z到点M(-,-1)的距离小于等于1,故满足条件|z-(--i)|≤1的点Z的集合是以M(-,-1)为圆心,以1为半径的圆及其内部,如图所示,|z|表示点Z到原点O的距离,||==2, 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. 题后反思　复数模的问题的求解策略 |z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而通过数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解. 跟踪训练4 (1)若本例(2)条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值. 解 ∵|z-3-4i|=1,∴复数z所对应的点在以点C(3,4)为圆心,1为半径的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6. (2)若本例(2)条件改为“已知|z|=1且z∈C”,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值. 解 ∵|z|=1且z∈C,如图所示, ∴|z-2-2i|的几何意义为以点O为圆心的单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1. $