专题10 特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-备战2024年中考数学考试易错题（上海专用）

专题10 特殊三角形的存在性 特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、 角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 易错点一：等腰三角形的存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 解题策略： 对于等腰三角形的存在性问题，利用“两圆一线”找交点，①已知边为腰时，以已知边的两端点为圆心，已知边为半径画圆找交点；②已知边为底时，利用尺规作图法作出已知边的垂直平分线进而找交点。 对于平面直角坐标系中的等腰三角形存在性问题，有以下几种做法：①如果点落在坐标轴上，可以直接利用“等腰三角形的三线合一”或“两边”相等的性质，直接求点的坐标；②如果已知两定点，还有一动点在直线上，则设出动点坐标，再利用距离公式，分类讨论。③如果动点在抛物线上或动点个数不止一个，则不建议利用距离公式，这样计算过程繁琐且容易出现高次方程，可以利用图中的相似三角形或其他图形的特点进行解决。 【例1】．（2024•崇明区）已知中，，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），点是边上的一点，且满足，过点作交的延长线于． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，联结，设，，求关于的函数解析式并写出定义域； （3）过点作射线的垂线，垂足为，射线与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【变式】．（2023春•静安区期末）（1）如图1，梯形中，，，，，．求证：四边形是等腰梯形； （2）点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图，设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 【例2】．（2024•闵行区）如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且联结． （1）如图1，联结，，求证：； （2）如图2，延长交线段于点． ①当点为线段中点时，求的值； ②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点在的内部时，求的取值范围． 【变式】．（2023•徐汇区二模）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点、． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； （3）点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式． 易错点二：直角三角形的存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 解题策略： 对于直角三角形的存在性问题，利用“两圆一线”找交点，①已知边为直角边时，分别过边的两段点作边的垂线找点；②已知边为斜边，作以斜边为直径的圆找点（直径所对的圆周角是直角）。对于平面直角坐标系中的直角三角形存在性问题，有以下几种做法：①如果动点在直线上，则可以利用距离公式和勾股定理求解；②如果动点落在抛物线上，则可以构造“一线三直角模型”求解。 【例3】（2023秋•宝山区期中）已知中，，，是射线上一点（不与点重合），线段的垂直平分线与边交于点． （1）点在边上， ①如图1，联结，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域． （2）如果是直角三角形，求的长． 【变式1】（2023•闵行区二模）如图，在中，，，以为边作（点、在直线的异侧），且满足，． （1）求证：； （2）设点为边的中点，连接并延长交边于点，当为直角三角形时，求边的长； （3）设，，求关于函数解析式并写出定义域． 【变式2】．（2023春•长宁区期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图2，当时，求的度