2024年中考数学专项复习讲义：二次根式

2024年中考数学专项复习讲义：二次根式 知识点归纳 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 提升练习 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若为二次根式，则m的取值为（　　） A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3 3．下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．若 =0，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 5．如果，，那么的等于（　　） A．3000 B．30 C．24.5 D．77.5 6．已知a为实数，则代数式 的最小值为（　　） A．0 B．3 C．3 D．9 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 8． 为三个整数，若 ， ， ，则下列有关于 的大小关系，正确的是（　　）. A． B． C． D． 二、填空题 9．当a=﹣3时，二次根式 的值是　 　． 10．化简二次根式的结果为　 　 . 11．已知 ，则 y x 的值为　 　． 12．已知是整数，则正整数n的最小值为　 　． 13．若实数、b满足，则的值等于　 　． 三、解答题 14．计算： （1） ； （2） . 15．求值： （1）已知a＝ ，b＝ ，求 － 的值. （2）已知x＝ ，求x2－x＋ 的值. 16．数学课上，对于 ，小红根据被开方数是非负数，得出a的取值范围是a≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出a的取值范围． 17．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm² 和32dm²的正方形木板. （1）求剩余木板的面积. （2）若木工想从剩余的木板中截出长为 1.5d m、宽为 1 dm的长方形木条，则最多能 截出　 　块. 18．观察、思考、解答： （ -1）2=（ ）2-2×1× +12=2-2 +1=3-2 反之3-2 =2-2 +1=（ -1）2 ∴3-2 =（ -1）2 ∴ = -1 （1）仿上例，化简： ； （2）若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； （3）已知x= ，求（ + ）• 的值（结果保留根号） 答案 1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．D 9．2 10． 11．-4 12．2 13． 14．（1）解：原式＝ ＝ （2）解：原式＝ ＝1＋ ＝1 15．（1） － ＝ ＝ ＝ . 当a＝ ，b＝ 时， 原式＝ ＝2. （2）∵x＝－ ＝ ＝ .