专题03 锐角三角函数（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材青岛版

专题03 锐角三角函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 锐角三角函数的概念 / 考点二 特殊角的三角函数值 题型三 三角函数的增减性与取值范围 /考点四 解直角三角形 考点五 解直角三角形的实际应用 /考点六 锐角三角函数综合计算 05 重难题型突破 题型一：锐角三角函数定义的直接应用 /题型二：已知三角函数值求直角三角形边长 题型三：特殊角三角函数值的计算 /题型四：由三角函数值反求锐角大小 题型五：互余两角的三角函数关系应用 /题型六：同角三角函数的基本关系应用 题型七：网格中求锐角三角函数值 /题型八：构造直角三角形解斜三角形问题 题型九：解直角三角形的基础计算 /题型十：仰角、俯角类实际应用问题 题型十一：方向角类实际应用问题 /题型十二：坡度、坡角类实际应用问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 锐角三角函数在期中试卷中属于重点板块，基础考点集中在锐角三角比定义、30°、45°、60°特殊角三角比计算、简单解直角三角形，多以选择、填空形式出现，难度偏基础；中档题型以解答题为主，常考查仰角俯角等实际测量应用题；拔高题常和勾股定理、相似、折叠综合，一般作为几何小压轴，侧重构造直角三角形转化条件，整体分层清晰，重视定义理解与建模转化能力。 识记 记住正弦、余弦、正切的定义；熟记 30°、45°、60° 特殊角的三角函数值；知道三角函数的取值范围，能准确识别对边、邻边、斜边。 理解 理解锐角三角函数只和锐角大小有关，与直角三角形边长无关；理解同角、互余两角三角函数关系；能判断一个锐角的三角函数增减变化；明白解直角三角形的含义，理清边角之间的对应关系。 应用 利用三角函数定义、特殊角的值进行计算；会解直角三角形；能识别仰角、俯角、坡度坡角，建立直角三角形模型解决实际问题；能结合勾股定理、相似、图形折叠等，通过作垂线构造直角三角形，解决期中综合题型 考点一 锐角三角函数的概念 核心定义 在直角三角形中，对于一个锐角∠α（0°＜α＜90°），它的三角函数值由三边的比值唯一确定，与三角形的大小无关，仅随 的变化而变化。 函数名称 边的比值定义 符号表示 取值范围 ∠α的对边与斜边的比 sin α = 对边/斜边 = a/c 0＜sin α＜1 ∠α的邻边与斜边的比 cos α = 邻边/斜边 = b/c 0＜cos α＜1 ∠α的对边与邻边的比 tan α = 对边/邻边 = a/b tan α＞0 1关键要点 · 三角函数是比值，没有单位，一旦角度固定，函数值就固定不变； · 必须在直角三角形中使用定义，非直角三角形需要通过作高构造直角三角形； · 对边、邻边是相对于指定锐角而言的，不能混淆。 ⚠️避坑指南 1.误认为三角函数值随三角形边长变化而变化，实际只与角度有关； 2.在非直角三角形中直接套用 sin α = 对边/斜边，忽略构造直角三角形的步骤； 3.对边、邻边判断错误，比如把斜边当成邻边计算； 4.书写时漏写角度符号，如 sin30 是错误写法，正确为 sin 30°。 考点二 特殊角的三角函数值 核心数值表 角度 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 记忆技巧 · 正弦值：分母均为2，分子依次为、、，随角度增大而增大； · 余弦值：与正弦值顺序相反，随角度增大而减小； · 正切值：30°和60°的正切值互为倒数，45°正切值为1。 ⚠️避坑指南 1.数值记混，比如把 sin60°和 cos30°的结果搞反； 2.计算时将三角函数值与角度的增减性搞反，误以为 sin α 随角度增大而减小； 3.化简时不按要求保留根号，或者计算分式时漏算分母有理化。。 考点三 三角函数的增减性与取值范围 核心规律 · 当 0°＜α＜90°时，sin α 和 tan α 随角度增大而 ； · 当 0°＜α＜90°时，cos α 随角度增大而 ； · 平方关系：sin²α + cos²α = 1； · 互余关系：若∠A + ∠B = 90°，则 sin A = cos B，cos A = sin B。 ⚠️避坑指南 1.误以为余弦值随角度增大而增大，导致比较大小时出错； 2.混淆互余关系，比如把 sin30° = cos60° 错记成 sin30° = cos30°； 3.应用平方关系时忘记给 sin、cos 加平方，如 sin α + cos α = 1 是错误的。。 考点四解直角三角形 定义与依据 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素（3条边、2个锐角），由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做 。 核心依据： 1. 三边关系：勾股定理 ； 2. 锐角关系：∠A + ∠B = 90°； 3. 边角关系：sin A = ，cos A = ，tan A = 。 常见题型 · 已知一条边和一个锐角，求其余边和角； · 已知两条边，求其余边和角； · 非直角三角形通过作高转化为两个直角三角形求解。 ⚠️避坑指南 1.选择三角函数时选错边的比值，比如已知斜边和对边求角，误用 cos 而不是 sin； 2.计算边长时开平方漏解（边长为正，只取正根）； 3.保留近似值时不按题目要求的精确度，或者中间步骤提前约分导致结果误差过大。。 考点五 解直角三角形的实际应用 核心概念 · 仰角与俯角：视线在水平线上方的角叫 ，视线在水平线下方的角叫 ； · 坡度（坡比）：坡面的垂直高度 h 与水平宽度 l 的比，即 i = tan α（α 为坡角）； · 方向角：以正南或正北为基准，描述物体所在方向的角，如北偏东30°。 解题步骤 1. 审题，画出几何图形，标注已知条件和未知量； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题，必要时作辅助线构造直角三角形； 3. 选择合适的三角函数关系式求解； 4. 检验结果是否符合实际意义，按要求作答。 ⚠️避坑指南 1.混淆仰角和俯角的定义，把视线与铅垂线的夹角当成仰角； 2.坡度概念理解错误，把坡角当成坡度，或者把水平宽度与垂直高度的比当成坡度； 3.方向角描述错误，比如把“北偏东30°”写成“东偏北30°； 4.解决双直角三角形问题时，公共边找不准，导致关系式列错。 考点六 锐角三角函数综合计算 核心题型 · 特殊角三角函数值的混合运算（含零指数、负指数、绝对值）； · 利用三角函数求线段长度、角度大小； · 与四边形、相似三角形结合的综合题。 ⚠️避坑指南 1.混合运算时运算顺序错误，或者特殊角数值代错； 2.综合题中找不到直角三角形，不会通过作高转化边角关系； 3.结果没有化简到最简二次根式，或者分式没有分母有理化。。 题型一锐角三角函数定义的直接应用 典例1 （25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，画射线，则的值为（    ）． A． B． C． D． 💡破题要诀 先确认图形为直角三角形，锁定目标锐角，仔细区分该角的对边、邻边与斜边；严格对照正弦、余弦、正切的定义写出比值，牢记三角函数值只由锐角大小决定，不受三角形放大、缩小影响；审题留意角的位置，不要错用另外一个锐角的对边和邻边。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，那么的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么_________． 题型二 已知三角函数值求直角三角形边长 典例1 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD的值为（　　） A． B． C． D．2 💡破题要诀 根据三角函数的比值关系设比例参数 k，用含 k 的代数式表示出对应两条边；再利用勾股定理求出第三条边；结合题目给出的已知边长建立方程求出参数 k，回代得到各边长度；计算过程中分清斜边与直角边，避免设边时混淆。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，，则为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 题型三 特殊角三角函数值的计算 典例1 （25-26九年级上·山东济宁·期中）（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 熟练牢记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值，代入算式后按照实数运算法则运算，有序处理乘方、开方、加减；重点区分 sin 和 cos 在特殊角下的数值，防止记混；结果化为最简二次根式，不要遗漏符号与括号 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）已知为锐角，则的值为（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 题型四 由三角函数值反求锐角大小 典例1 （25-26九年级上·山东淄博·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 优先对照特殊角三角函数表匹配角度；如果数值不属于特殊角，使用计算器求锐角，看清函数名称，区分 sin、cos、tan；注意结果单位是角度，看清题目是否要求精确值或者近似值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知：，则锐角______． 题型五 互余两角的三角函数关系应用 典例1 （25-26九年级上·山东烟台·期中）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．0 💡破题要诀 核心公式sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)；看到两个锐角互余，及时实现正弦、余弦互换；常用来化简式子、比较三角函数大小、等量代换，转化为同一种函数方便计算。 迁移应用 1．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 同角三角函数的基本关系应用 典例1 在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 用好恒等式，已知一个锐角的正弦或余弦，可以求另一个；因为是锐角，三角函数值都大于 0，开方只取正根；该公式常用于整体代换、化简求值，不需要先求出角度。 迁移应用 1．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5 2．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）_______． 3．在中，，若，则的值为_______． 题型七 网格中求锐角三角函数值 典例1 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 找到目标角，借助网格横线竖线，构造包含这个角的直角三角形；利用格子长度，通过勾股定理求出三边长度；再套用三角函数定义求值；注意目标角不一定在格点直角处，必要时用等角转化 迁移应用 1．如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为（   ） A． B． C．2 D． 3．如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 题型八 构造直角三角形解斜三角形问题 典例1 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 💡破题要诀 斜三角形没有现成直角，解题核心是作高，向三角形的边作垂线，把斜三角形拆成两个共高的直角三角形；将已知边角条件转移到直角三角形中，分别利用三角函数、勾股定理建立联系；注意高可能在三角形内部，也可能在外部。 迁移应用 1．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则的长为___________． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 题型九 解直角三角形的基础计算 典例1 （25-26九年级上·上海浦东新·期中）在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 💡破题要诀 明确解直角三角形就是由已知两个元素（至少一条边），求出其余所有未知边和角；三个工具：勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数；列式时优先选用原始已知条件，尽量不用中间算出的结果，减少计算累积误差 迁移应用 1．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，是边上的高，点是的中点，若，，且，则的长是______ ． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）在Rt中，．解这个直角三角形． 题型十 仰角、俯角类实际应用问题 典例1 （25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高为1.6米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 仰角、俯角是视线和水平线的夹角，先画出示意图，标出水平线、视线、竖直高度；这类题大多是双直角三角形模型，两个直角三角形共用一条竖直高；常设高为未知数，分别用三角函数表示水平距离，再根据水平线段的和差关系列方程求解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度．如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为_____米．（结果保留根号） 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图1是吉林市文化地标之一的世纪之舟，它于1999年正式竣工落成．某校数学兴趣小组利用无人机测量世纪之舟的主体的高度，并绘制了如图2的示意图．无人机在点处测得世纪之舟顶部点的仰角为，世纪之舟底部点的俯角为，无人机与世纪之舟的水平距离，求世纪之舟主体的高度．（结果精确到整数）参考数据：（，，） 题型十一 方向角类实际应用问题 典例1 （25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 方向角以正北或正南方向为基准，先规范画出方位图，利用平行线性质找到相等的内错角；通过作垂线构造直角三角形；仔细梳理各点之间的线段和角度关系，分清南北、东西方向，不要把方向角当成和东西线的夹角。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，一艘客船从码头点出发，沿北偏东方向航行，速度为海里时，小时后一艘快艇也从同一码头出发，向正北方向航行小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为（    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 2．（25-26九年级上·北京·期中）王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离______（结果精确到；参考数据：，，） 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟的速度从D出发，沿路线跑步前进，与此同时，乙以每分钟的速度从D出发，沿路线步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（计算结果精确到）（参考数据：，，） 题型十二 坡度、坡角类实际应用问题 典例1 （25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在修建送水站时，施工部门沿某一斜坡铺设送水管道，于点，米，米，则斜坡的坡度为（    ）    A． B． C． D． 💡破题要诀 牢记坡比（坡度）i=tana=，坡度是高度和水平宽度的比，不是高度和坡面长的比；坡面、铅直高、水平宽构成直角三角形；结合勾股定理与三角函数转化边长，读懂坡面改造、拦水坝这类图形中的线段关系。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是______ ． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 基础固本练（限时：30分钟） 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为________米． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了______． 10．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为______． 11．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，若，则的长为____． 12．（25-26九年级上·山东泰安·期中）将，，用“＞”号连接起来为______． 13．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1)． (2)． 14．如图，一款可调节角度的台灯，通过调节与的夹角来调整光源的角度．已知，，最大角度为． (1)当时，求点到的水平距离． (2)当，求点到桌面的垂直距离．（参考值：，，，） 15．如图，在中，，，，求，，的值． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，的垂直平分线分别交于、两点，连接，如果，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线相交于点于点E，且，若，则的长是（   ） A． B．6 C． D． 4．如图，，，，于D，，的长是________． 5．如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为______ ． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点E在正方形的边上，把绕点A顺时针旋转至位置，如果，，那么点E与点F之间的距离等于____． 7．如图，在中，，为的中点，连接，为斜边上的高．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 8．中国第一滨海“双子塔”——厦门世茂海峡大厦，位于厦门市思明区，东依千年古刹南普陀和百年名校厦门大学，南至演武大桥，西望海上花园鼓浪屿，北靠万石植物园五老峰，坐拥得天独厚的优雅环境．某数学实践小组来到现场，计划测量“双子塔”其中一座大厦的高度．如图，在地面观测点处测得大厦顶部的仰角为，再沿水平方向向大厦底部行走100米到达观测点处，测得大厦顶部的仰角为．已知观测点与大厦底部在同一直线上，求大厦的高度．（参考数据：．） 9．如图，在东西方向的海面线上，有A、B两艘巡逻船和观测点D（A、B、D在直线上），两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A、B北偏西和北偏东方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东方向．求巡逻船B与观测点D间的距离．（结果取整数．参考数据：，．） 10．为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 锐角三角函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 锐角三角函数的概念 / 考点二 特殊角的三角函数值 题型三 三角函数的增减性与取值范围 /考点四 解直角三角形 考点五 解直角三角形的实际应用 /考点六 锐角三角函数综合计算 05 重难题型突破 题型一：锐角三角函数定义的直接应用 /题型二：已知三角函数值求直角三角形边长 题型三：特殊角三角函数值的计算 /题型四：由三角函数值反求锐角大小 题型五：互余两角的三角函数关系应用 /题型六：同角三角函数的基本关系应用 题型七：网格中求锐角三角函数值 /题型八：构造直角三角形解斜三角形问题 题型九：解直角三角形的基础计算 /题型十：仰角、俯角类实际应用问题 题型十一：方向角类实际应用问题 /题型十二：坡度、坡角类实际应用问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 锐角三角函数在期中试卷中属于重点板块，基础考点集中在锐角三角比定义、30°、45°、60°特殊角三角比计算、简单解直角三角形，多以选择、填空形式出现，难度偏基础；中档题型以解答题为主，常考查仰角俯角等实际测量应用题；拔高题常和勾股定理、相似、折叠综合，一般作为几何小压轴，侧重构造直角三角形转化条件，整体分层清晰，重视定义理解与建模转化能力。 识记 记住正弦、余弦、正切的定义；熟记 30°、45°、60° 特殊角的三角函数值；知道三角函数的取值范围，能准确识别对边、邻边、斜边。 理解 理解锐角三角函数只和锐角大小有关，与直角三角形边长无关；理解同角、互余两角三角函数关系；能判断一个锐角的三角函数增减变化；明白解直角三角形的含义，理清边角之间的对应关系。 应用 利用三角函数定义、特殊角的值进行计算；会解直角三角形；能识别仰角、俯角、坡度坡角，建立直角三角形模型解决实际问题；能结合勾股定理、相似、图形折叠等，通过作垂线构造直角三角形，解决期中综合题型 考点一 锐角三角函数的概念 核心定义 在直角三角形中，对于一个锐角∠α（0°＜α＜90°），它的三角函数值由三边的比值唯一确定，与三角形的大小无关，仅随角度的变化而变化。 函数名称 边的比值定义 符号表示 取值范围 正弦 ∠α的对边与斜边的比 sin α = 对边/斜边 = a/c 0＜sin α＜1 余弦 ∠α的邻边与斜边的比 cos α = 邻边/斜边 = b/c 0＜cos α＜1 正切 ∠α的对边与邻边的比 tan α = 对边/邻边 = a/b tan α＞0 1关键要点 · 三角函数是比值，没有单位，一旦角度固定，函数值就固定不变； · 必须在直角三角形中使用定义，非直角三角形需要通过作高构造直角三角形； · 对边、邻边是相对于指定锐角而言的，不能混淆。 ⚠️避坑指南 1.误认为三角函数值随三角形边长变化而变化，实际只与角度有关； 2.在非直角三角形中直接套用 sin α = 对边/斜边，忽略构造直角三角形的步骤； 3.对边、邻边判断错误，比如把斜边当成邻边计算； 4.书写时漏写角度符号，如 sin30 是错误写法，正确为 sin 30°。 考点二 特殊角的三角函数值 核心数值表 角度 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 记忆技巧 · 正弦值：分母均为2，分子依次为、、，随角度增大而增大； · 余弦值：与正弦值顺序相反，随角度增大而减小； · 正切值：30°和60°的正切值互为倒数，45°正切值为1。 ⚠️避坑指南 1.数值记混，比如把 sin60°和 cos30°的结果搞反； 2.计算时将三角函数值与角度的增减性搞反，误以为 sin α 随角度增大而减小； 3.化简时不按要求保留根号，或者计算分式时漏算分母有理化。。 考点三 三角函数的增减性与取值范围 核心规律 · 当 0°＜α＜90°时，sin α 和 tan α 随角度增大而增大； · 当 0°＜α＜90°时，cos α 随角度增大而减小； · 平方关系：sin²α + cos²α = 1； · 互余关系：若∠A + ∠B = 90°，则 sin A = cos B，cos A = sin B。 ⚠️避坑指南 1.误以为余弦值随角度增大而增大，导致比较大小时出错； 2.混淆互余关系，比如把 sin30° = cos60° 错记成 sin30° = cos30°； 3.应用平方关系时忘记给 sin、cos 加平方，如 sin α + cos α = 1 是错误的。。 考点四解直角三角形 定义与依据 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素（3条边、2个锐角），由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 核心依据： 1. 三边关系：勾股定理 a² + b² = c²； 2. 锐角关系：∠A + ∠B = 90°； 3. 边角关系：sin A = ，cos A = ，tan A = 。 常见题型 · 已知一条边和一个锐角，求其余边和角； · 已知两条边，求其余边和角； · 非直角三角形通过作高转化为两个直角三角形求解。 ⚠️避坑指南 1.选择三角函数时选错边的比值，比如已知斜边和对边求角，误用 cos 而不是 sin； 2.计算边长时开平方漏解（边长为正，只取正根）； 3.保留近似值时不按题目要求的精确度，或者中间步骤提前约分导致结果误差过大。。 考点五 解直角三角形的实际应用 核心概念 · 仰角与俯角：视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角； · 坡度（坡比）：坡面的垂直高度 h 与水平宽度 l 的比，即 i = tan α（α 为坡角）； · 方向角：以正南或正北为基准，描述物体所在方向的角，如北偏东30°。 解题步骤 1. 审题，画出几何图形，标注已知条件和未知量； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题，必要时作辅助线构造直角三角形； 3. 选择合适的三角函数关系式求解； 4. 检验结果是否符合实际意义，按要求作答。 ⚠️避坑指南 1.混淆仰角和俯角的定义，把视线与铅垂线的夹角当成仰角； 2.坡度概念理解错误，把坡角当成坡度，或者把水平宽度与垂直高度的比当成坡度； 3.方向角描述错误，比如把“北偏东30°”写成“东偏北30°； 4.解决双直角三角形问题时，公共边找不准，导致关系式列错。 考点六 锐角三角函数综合计算 核心题型 · 特殊角三角函数值的混合运算（含零指数、负指数、绝对值）； · 利用三角函数求线段长度、角度大小； · 与四边形、相似三角形结合的综合题。 ⚠️避坑指南 1.混合运算时运算顺序错误，或者特殊角数值代错； 2.综合题中找不到直角三角形，不会通过作高转化边角关系； 3.结果没有化简到最简二次根式，或者分式没有分母有理化。。 题型一锐角三角函数定义的直接应用 典例1 （25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，画射线，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的正切值，等边三角形的性质与判定，线段的尺规作图，根据作图方法可得，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 💡破题要诀 先确认图形为直角三角形，锁定目标锐角，仔细区分该角的对边、邻边与斜边；严格对照正弦、余弦、正切的定义写出比值，牢记三角函数值只由锐角大小决定，不受三角形放大、缩小影响；审题留意角的位置，不要错用另外一个锐角的对边和邻边。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是先利用勾股定理求直角边的长，再根据正切定义计算． 先由勾股定理求出的长度，再根据正切的定义（）计算的值． 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，那么的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键． 根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 故选：A． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么_________． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 题型二 已知三角函数值求直角三角形边长 典例1 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】延长AD、BC，两线交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根据勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：延长AD、BC，两线交于O， 在Rt△ABO中，∠B=90°，tanA==，AB=3， ∴OB=4， ∵BC=2， ∴OC=OB-BC=4-2=2， 在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=3，OB=4， 由勾股定理得：AO=5， ∵∠ADC=90°， ∴∠ODC=90°=∠B， ∵∠O=∠O， ∴△ODC∽△OBA， ∴， ∴， 解得：DC=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线（构造出直角三角形）是解此题的关键． 💡破题要诀 根据三角函数的比值关系设比例参数 k，用含 k 的代数式表示出对应两条边；再利用勾股定理求出第三条边；结合题目给出的已知边长建立方程求出参数 k，回代得到各边长度；计算过程中分清斜边与直角边，避免设边时混淆。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，，则为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理，掌握正弦定义和勾股定理是解题关键． 利用正弦函数的定义求出斜边，再根据勾股定理求． 【详解】∵ ， ，且， ∴ ， ∴， 又∵ 为直角三角形， ∴， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 2．已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC． 【详解】解：∵DE⊥AC， ∴∠ADE+∠CAD=90°， ∵∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ACD=∠ADE=α， ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∵cosα=， ∴， ∴AC=×4=， 由勾股定理得，BC==， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题关键．根据题意设，，由勾股定理得，从而求出，，再利用三角形面积公式，通过面积相等列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，， 由勾股定理得， ， ， ，， ， ， 故答案为：．    题型三 特殊角三角函数值的计算 典例1 （25-26九年级上·山东济宁·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 💡破题要诀 熟练牢记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值，代入算式后按照实数运算法则运算，有序处理乘方、开方、加减；重点区分 sin 和 cos 在特殊角下的数值，防止记混；结果化为最简二次根式，不要遗漏符号与括号 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）已知为锐角，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，得，求出，即得解． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据特殊角的三角函数值、负指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先代入特殊角的三角函数值及化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊值的三角函数，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先将特殊角三角函数值代入，再进行实数的混合运算即可； （2）先计算二次根式、零次幂、负整数次幂、绝对值，代入特殊角三角函数值，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型四 由三角函数值反求锐角大小 典例1 （25-26九年级上·山东淄博·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选C． 💡破题要诀 优先对照特殊角三角函数表匹配角度；如果数值不属于特殊角，使用计算器求锐角，看清函数名称，区分 sin、cos、tan；注意结果单位是角度，看清题目是否要求精确值或者近似值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 2．已知在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的三角函数值解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 3．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知：，则锐角______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，将 代入方程，通过代数运算求解 ，再根据锐角范围确定的值． 【详解】， ， ， ， 为锐角， ， 故答案为：． 题型五 互余两角的三角函数关系应用 典例1 （25-26九年级上·山东烟台·期中）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了互余角的三角函数关系．利用互余角的三角函数关系将转化为，然后计算差值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 💡破题要诀 核心公式sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)；看到两个锐角互余，及时实现正弦、余弦互换；常用来化简式子、比较三角函数大小、等量代换，转化为同一种函数方便计算。 迁移应用 1．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意；     故选：A． 题型六 同角三角函数的基本关系应用 典例1 在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数值的计算，可先依据锐角余弦的定义设出直角三角形的边长，再利用勾股定理求出另一条直角边，最后根据正切的定义计算出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，（）， ∴， ∴， 故选：B． 💡破题要诀 用好恒等式，已知一个锐角的正弦或余弦，可以求另一个；因为是锐角，三角函数值都大于 0，开方只取正根；该公式常用于整体代换、化简求值，不需要先求出角度。 迁移应用 1．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5 【答案】D 【分析】根据锐角的同角三角函数之间的关系进行化简可得答案. 【详解】解：由，得. 所以. 解得tanα＝2.5． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角的三角函数，熟练掌握同角三种函数之间的关系是解本题的关键. 2．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）_______． 【答案】1 【分析】根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键． 根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 根据三角函数值定义：， ， 在中，， ， 故答案为：． 3．在中，，若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 题型七 网格中求锐角三角函数值 典例1 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 💡破题要诀 找到目标角，借助网格横线竖线，构造包含这个角的直角三角形；利用格子长度，通过勾股定理求出三边长度；再套用三角函数定义求值；注意目标角不一定在格点直角处，必要时用等角转化 迁移应用 1．如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线． 取格点G，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点G，使， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 2．如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值． 【详解】解：如图，取网格点D，连接BD， 由网格图，可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 3．如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出的值． 【详解】解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为， ， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 题型八 构造直角三角形解斜三角形问题 典例1 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 💡破题要诀 斜三角形没有现成直角，解题核心是作高，向三角形的边作垂线，把斜三角形拆成两个共高的直角三角形；将已知边角条件转移到直角三角形中，分别利用三角函数、勾股定理建立联系；注意高可能在三角形内部，也可能在外部。 迁移应用 1．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 2．如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 题型九 解直角三角形的基础计算 典例1 （25-26九年级上·上海浦东新·期中）在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据直角三角形中三角函数的定义，利用的正弦值求解斜边即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 💡破题要诀 明确解直角三角形就是由已知两个元素（至少一条边），求出其余所有未知边和角；三个工具：勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数；列式时优先选用原始已知条件，尽量不用中间算出的结果，减少计算累积误差 迁移应用 1．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是关键；由题意得米，，由正弦函数关系式即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，是边上的高，点是的中点，若，，且，则的长是______ ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，再在中，利用勾股定理可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）在Rt中，．解这个直角三角形． 【答案】；； 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键，根据三角形内角和定理求出，再根据三角函数解直角三角形即可． 【详解】解： ∵ ∴， ∵ ∴． 题型十 仰角、俯角类实际应用问题 典例1 （25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高为1.6米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．过点D作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，由得到，即可得到答案． 【详解】解：过点D作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∴ 故选：A． 💡破题要诀 仰角、俯角是视线和水平线的夹角，先画出示意图，标出水平线、视线、竖直高度；这类题大多是双直角三角形模型，两个直角三角形共用一条竖直高；常设高为未知数，分别用三角函数表示水平距离，再根据水平线段的和差关系列方程求解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度．如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为_____米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了根据矩形的性质与判定求线段长，仰角俯角问题(解直角三角形的应用)等知识点，解题关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设过点A的水平线与交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线与交于点E，如图， 由题意知：，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：米， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图1是吉林市文化地标之一的世纪之舟，它于1999年正式竣工落成．某校数学兴趣小组利用无人机测量世纪之舟的主体的高度，并绘制了如图2的示意图．无人机在点处测得世纪之舟顶部点的仰角为，世纪之舟底部点的俯角为，无人机与世纪之舟的水平距离，求世纪之舟主体的高度．（结果精确到整数）参考数据：（，，） 【答案】世纪之舟主体的高度为 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴，， ∴； 答：世纪之舟主体的高度为． 题型十一 方向角类实际应用问题 典例1 （25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，再根据等腰三角形的判定定理得到，最后再利用正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：C． 💡破题要诀 方向角以正北或正南方向为基准，先规范画出方位图，利用平行线性质找到相等的内错角；通过作垂线构造直角三角形；仔细梳理各点之间的线段和角度关系，分清南北、东西方向，不要把方向角当成和东西线的夹角。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，一艘客船从码头点出发，沿北偏东方向航行，速度为海里时，小时后一艘快艇也从同一码头出发，向正北方向航行小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为（    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，连接，由题意可得，，海里，即得海里，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，，海里， ∴海里， ∴快艇航行的速度为海里时， 故选：． 2．（25-26九年级上·北京·期中）王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离______（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为 由题意，得，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟的速度从D出发，沿路线跑步前进，与此同时，乙以每分钟的速度从D出发，沿路线步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（计算结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)甲先到达地 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握作辅助线构造适当的图形是解题的关键． （1）先证是等腰直角三角形，求出的长度，再过点作交于点，得到等边和平行四边形，利用边的转换即可求解． （2）利用路程除以速度得到甲乙两人前进的时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知， ∴是等腰直角三角形， ， 如图，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）解：根据题意，可知 甲所需时间为（分）， 乙所需时间为（分）， ∵， ∴甲先到达地． 题型十二 坡度、坡角类实际应用问题 典例1 （25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在修建送水站时，施工部门沿某一斜坡铺设送水管道，于点，米，米，则斜坡的坡度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键． 先由勾股定理求解，再由坡度的定义即为坡角的正切值求解即可． 【详解】解：∵于点，米，米， ∴ ∴， ∴斜坡的坡度为， 故选：A． 💡破题要诀 牢记坡比（坡度）i=tana=，坡度是高度和水平宽度的比，不是高度和坡面长的比；坡面、铅直高、水平宽构成直角三角形；结合勾股定理与三角函数转化边长，读懂坡面改造、拦水坝这类图形中的线段关系。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是______ ． 【答案】米 【分析】本题考查了坡度的定义，解题的关键是根据坡度的定义（铅直高度与水平宽度的比）建立比例关系． 根据坡度的定义“坡度”，已知米，代入比例式，计算得的长． 【详解】解：迎水坡的坡度为， 米， 米， 故答案为：米． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 【答案】探究：； 运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由如下： 过作于点， 由题可得，， ∵， ∴， ∴小张不能够从此积水路段安全通过． 【分析】探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，可得，即得到，进而可得，设，则，，得到，再根据正切的定义解答即可求解； 运用：过作于点，由题可得，再解直角三角形求出即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴, 故答案为：； 运用：略 基础固本练（限时：30分钟） 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：在中，， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据60度角的余弦值为可得答案． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边）求解． 【详解】解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴. 故选：B． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，，故该选项不符合题意； B、在中，，故该选项符合题意； C、在中，，故该选项不符合题意； D、在中，，故该选项不符合题意； 故选：B 6．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 根据锐角的正切等于对边比邻边作答即可． 【详解】解：在中，，则． 故选：C． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键． 求出扩大前后的值即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 如果把的各边都扩大为原来的4倍， ∴， ∴的值不变． 故选：A． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为________米． 【答案】80 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，由三角形内角和定理可得，则解直角三角形可得的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， 故答案为：80． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了______． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可知垂直方向升高的高度即为的值，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，她沿垂直方向升高了米， 故答案为：米． 10．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点C作，交的延长线于点D，则，然后根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点D， 设小方格的边长为1， 则，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，若，则的长为____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理， 在直角三角形中，利用的余切定义求出直角边的长度，再应用勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：在中，， ∵AC=9，cot B=， ∴， 由勾股定理，． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东泰安·期中）将，，用“＞”号连接起来为______． 【答案】 【分析】本题考查了已知角度比较三角函数值的大小．通过互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再利用正弦函数在锐角范围内的性质进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大，且， ∴， 即， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再运算乘方，然后运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先代入特殊角的三角函数值，再运算乘方，化简绝对值和运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．如图，一款可调节角度的台灯，通过调节与的夹角来调整光源的角度．已知，，最大角度为． (1)当时，求点到的水平距离． (2)当，求点到桌面的垂直距离．（参考值：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）如图，过点作于点，解直角三角形求出即可得出结论； （2）解直角三角形求出即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ， ， ， 答：点到的水平距离为； （2）当时，， ， ， 答：点到桌面的垂直距离约为． 15．如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在网格中作辅助线构造直角三角形，利用网格边长确定直角边长度，再根据正切定义计算． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ，， ． 故选：A． 2．如图，中，，，的垂直平分线分别交于、两点，连接，如果，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相应知识是解题的关键． 由垂直平分，可得，进而可得，则，利用勾股定理可计算出的长，由，可得的长，再利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在矩形中，对角线相交于点于点E，且，若，则的长是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，，，，于D，，的长是________． 【答案】 【分析】先证为等腰直角三角形，求得，再解，求出，根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ∵， ， 在中，， ， ． 5．如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为______ ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是判断出是等腰直角三角形．判断出是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意得： ， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点E在正方形的边上，把绕点A顺时针旋转至位置，如果，，那么点E与点F之间的距离等于____． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据旋转的性质可得：，进而证明是等腰直角三角形，在中，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图： 由旋转的性质可得：， 、， ， ， ， 、， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 7．如图，在中，，为的中点，连接，为斜边上的高．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、解直角三角形、勾股定理、三角形的面积等，能够掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先根据，求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）先根据勾股定理解出，再运用等面积法求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，解得：， ∵为的中点， ∴； （2）解：∵在中，，由（1）得， ∴根据勾股定理：， ∵为斜边上的高， ∴， 即， ∴， ∵在中，，，由（1）得， ∴． 8．中国第一滨海“双子塔”——厦门世茂海峡大厦，位于厦门市思明区，东依千年古刹南普陀和百年名校厦门大学，南至演武大桥，西望海上花园鼓浪屿，北靠万石植物园五老峰，坐拥得天独厚的优雅环境．某数学实践小组来到现场，计划测量“双子塔”其中一座大厦的高度．如图，在地面观测点处测得大厦顶部的仰角为，再沿水平方向向大厦底部行走100米到达观测点处，测得大厦顶部的仰角为．已知观测点与大厦底部在同一直线上，求大厦的高度．（参考数据：．） 【答案】300米 【分析】设大厦高度为米，利用仰角的直角三角形性质得到米；再在含仰角的直角三角形中，用正切函数表示出的长度；最后根据（米）列出方程，求解得出的高度． 【详解】解：设大厦的高度为米． 由题意可知，， 米． 在中，， 米， 解得． 答：大厦的高度约为300米． 9．如图，在东西方向的海面线上，有A、B两艘巡逻船和观测点D（A、B、D在直线上），两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A、B北偏西和北偏东方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东方向．求巡逻船B与观测点D间的距离．（结果取整数．参考数据：，．） 【答案】巡逻船与观测点间的距离约为76海里 【分析】过点作于点，先解直角三角形求出，，的长，则可得的长，再证出，则可得的长，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，海里，， ∴在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， ∴海里， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（海里）， ∴（海里）， 答：巡逻船与观测点间的距离约为76海里． 10．为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1) (2) 解：过A分别作于G，于H， ∴四边形为矩形， 设，则，， ， ， ， ， ∴超速了． 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）直接根据正切函数计算即可； （2）过A分别作于G，于H，设，则，，根据正切函数得出，再由勾股定理计算得出，然后求速度即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $