11.2 平面的基本事实与推论(强基课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

11.2　平面的基本事实与推论(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 了解基本事实1～3及基本事实1,2的推论，并能应用基本事实及推论解决一些简单问题． 1．空间中关于平面的三个基本事实(也称为公理) 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个 平面　 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α ⇒AB⊂α 用来证明直线 在平面内　　 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A∈α，且A∈β⇒α∩β ＝a，且A∈a 用来证明空间 的点共线和线 共点　 　　2.三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面 确定 平面 的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 [基点训练] 1．下列图形中，不一定是平面图形的是(　 ) A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．四条边相等的四边形 解析：选D　三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形． 2．过不共线的四点有且只有一个平面对吗，为什么？ 提示：不对，过不共线的四点不一定存在一个平面，如过正方体上底面的三个顶点和下底面的一个顶点，便无法作出一个平面． 题型(一)　点、线共面问题 [例1]　 如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 　　 [证明]　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β，点P∈β. 因为P∈b，b⊂α，所以P∈α. 又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α. [变式拓展] 　将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内，符号表示为已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面． 证明：如图，∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β. ∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B， 由基本事实1的推论知，经过两条相交直线有且只有一个平面， ∴平面α与平面β重合．∴a，b，c和l共面． [方法技巧] 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”． [针对训练] 1.已知A，B，C，D，E是空间五个点，且线段CE，AC和BD两两相交，求证：A，B，C，D，E这五个点在同一平面上． 证明：设CE∩BD＝M，CA∩BD＝N， ∵CA∩CE＝C， ∴CA，CE确定一个平面α. ∵M∈CE，∴M∈α， 同理N∈α. ∴直线MN即直线BD⊂α， ∴B∈α，D∈α. ∴A，B，C，D，E这五个点在同一平面上． 题型(二)　点共线、线共点问题 [例2]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点．对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线． [证明]　由题意作图，如图所示． ∵AA1∥CC1， ∴A，A1，C，C1确定一个平面AA1C1C.O∈A1C，A1C⊂平面AA1C1C， ∴O∈平面AA1C1C. ∵对角线A1C与平面BDC1交于点O， ∴O∈平面BDC1，O在平面AA1C1C与平面BDC1的交线上． ∵AC∩BD＝M， ∴M∈平面AA1C1C且M∈平面BDC1. ∴平面AA1C1C∩平面BDC1 ＝C1M. ∴O∈C1M，即点C1，O，M共线． [变式拓展] 本例条件不变，求证：BE，DF，CC1三线共点． 证明：延长DF，BE交于G， ∵DG⊂平面DCG， ∴G∈DG， ∴G∈平面DCG. ∵BE⊂平面BCG， ∴G∈BE， ∴G∈平面BCG. ∵平面DCG∩平面BCG＝CC1， ∴G∈CC1. ∴BE，DF，CC1三线共点． [方法技巧] 1．证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上． 2．证明三线共点的步骤 证