11.1.6 第1课时 柱、锥、台的体积 (强基课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

　11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 　　　　 　第 1 课时　 柱、锥、台的体积(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解祖暅原理，了解利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体、球的体积公式的过程． 2．掌握利用柱体、锥体、台体的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题． 1．祖暅原理 祖暅原理 幂势既同，则积不容异 原理解读 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等 原理图示 2．柱体、锥体、台体、球的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱 体 棱柱 V＝Sh h为棱柱的高， S为棱柱的底面面积 圆柱 V＝πr2h＝Sh r为圆柱的底面半径， h为圆柱的高， S为圆柱的底面面积 锥 体 棱锥 V＝Sh h为棱锥的高， S为棱锥的底面面积 圆锥 V＝πr2h＝Sh r为圆锥的底面半径， h为圆锥的高， S为圆锥的底面面积 台 体 棱台、圆台 V台体＝(S上＋S下＋)h S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高 球 V球＝πR3 R为球的半径 微点助解 柱、锥、台体的体积公式之间的关系 柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体．当S上＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式，当S上＝S下＝S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三棱锥PABC中，VP－ABC＝VA－PBC＝VB－PAC＝VC－PAB.(　 ) (2)锥体的体积等于底面积与高的乘积．(　 ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　 ) (4)如果一个柱体与一个锥体底面积相等，则它们的体积比为3∶1.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.如图所示，正方体ABCD　－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是(　 ) A. B. C. D．1 答案：A 3．直径为1的球的体积是(　 ) A．1 B. C. D．π 解析：选B　由R＝，得V＝πR3＝×π×＝. 4．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：易知圆锥的高h＝4， 所以V圆锥＝π×32×4＝12π. 答案：12π 5．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是__________． 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c， 不妨令ab＝2，ac＝6，bc＝9， ∴(abc)2＝108. ∴V＝abc＝6. 答案：6 题型(一)　棱柱与圆柱的体积 [例1]　(1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为(　 ) A. m3 B. m3 C．1 m3 D. m3 (2)已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则它的体积为(　 ) A．4π B．8π C．12π D．16π [解析]　(1)设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积为V＝×2×6×＝(m3)． (2)设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，则该圆柱的体积为π×22×4＝16π. [答案]　(1)B　(2)D 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量． [针对训练] 1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　 ) A．π B．2π C．4π D．8π 解析：选B　设圆柱母线长为l，底面半径为r， 由题意得解得 ∴V圆柱＝πr2l＝2π. 2．在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________． 解析：设AC＝a，CC1＝b，则BD＝C1D＝，BC1＝.因为△BC1D是面积为6的直角三 角形，所以解得所以此三棱柱的体积V＝×8×4＝8. 答案：8 题型(二)　棱锥与圆锥的体积 [例2]　(1)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________． (2)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积