11.1.4 棱锥与棱台 (概念课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

11.1.4　棱锥与棱台(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.能根据棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念及表示方法． 2．能运用棱锥、棱台的特征描述现实生活中简单物体的结构和进行相关计算． 逐点清(一)　棱　锥 [多维度理解] 1．棱锥的概念 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥. 底面 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面 侧面 有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面 顶点 各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点 侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱 高 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高 图示 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积． 2．棱锥的分类 棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥． 3．棱锥的表示 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．例如，如上图所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P－ABCD或棱锥P－AC. 4．正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高． 5．棱锥的结构特征 几何体 侧面 侧棱 底面 高 平行于底面的截面 正棱锥 全等的等腰三角形 有一个公共顶点且相等 一个正多边形 顶点与底面的中心的连线 与底面相似 其他棱锥 三角形 有一个公共顶点 一个多边形 顶点到底 面的距离 与底面 相似 [细微点练明] 1．下列关于棱锥的说法正确的是(　 ) A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面 C．六棱锥的顶点有六个 D．任何棱锥都只有一个底面 解析：选D　四棱锥共有八条棱，故A错误；五棱锥共有六个面，故B错误；六棱锥的顶点有七个，故C错误；由棱锥的定义知D正确． 2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是(　 ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 解析：选D　正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，则h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等．故选D. 3．一个几何体的棱数是奇数，则这个几何体可能是(　 ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 解析：选B　三棱锥有6条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，四棱柱有12条棱． 4．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当的符号表示出来． (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥． 解：(1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(或三棱锥A－A1BD，三棱锥B－AB1C，三棱锥C－BDC1，三棱锥D－ACD1，三棱锥B1－A1BC1，三棱锥C1－B1CD1，三棱锥D1－A1C1D ，答案不唯一)． (2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(或三棱锥A1－BDC1答案不唯一)． 逐点清(二)　棱　台 [多维度理解] 1．棱台的概念 棱台 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 图示 上底面 原棱锥的截面称为棱台的上底面 下底面 原棱锥的底面称为棱台的下底面 侧面 除去上底面和下底面，其余各面称为棱台的侧面 侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱 高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高 表示 棱台可用上底面与下底面的顶点的字母来表示，如图中的棱台可表示为棱台ABCD－A1B1C1D1 2．棱台的分类 棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台…… 3．正棱台 由正棱锥截得的棱台称为正棱台．不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高． [细微点练明] 1．下面四个几何体中，是棱台的是(　 ) 答案：C 2．有下列四种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ④棱台的侧棱延长后必交于一点． 其中正确的有(　 ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选B　①中的平面不一定平行于底面，故①错；由棱台的定义知，④正确；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．