9.1.2 第1课时 余弦定理 (强基课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

9.1.2　余弦定理 第 1 课时　余弦定理(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标　 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 语言 叙述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 变式 cos A＝，cos B＝， cos C＝ 微点助解 (1)余弦定理的另外一种常见变式： 2bccos A＝b2＋c2－a2， 2cacos B＝c2＋a2－b2， 2abcos C＝a2＋b2－c2. (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． [基点训练] 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　 ) A.　　　　　　　 B．8 C．10 D．7 解析：选D　由余弦定理，得 c＝＝＝7. 2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　 ) A．60° B．45° C．120° D．30° 解析：选C　由cos A＝＝－，且0°<A<180°，得A＝120°. 3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 答案： 4．已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？ 提示：由余弦定理可知，不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2abcos C，c唯一，cos B＝，因为0＜B＜π，所以B唯一，从而A也唯一．所以三角形其他元素唯一确定． 题型(一)　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3. 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°. [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．　　 [针对训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝，B＝60°，则c＝(　 ) A．1 B. C．3 D．1或3 解析：选C　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故选C. 2．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若cos B＝，c＝5，a＝3，则b＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由cos B＝，c＝5，a＝3以及余弦定理得b＝＝＝，故选D. 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． [解]　根据余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. cos C＝＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝，∴A＝，B＝，C＝. [方法技巧] 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．　　 [针对训练] 3．若△ABC的三边长分别为3,6,7，则该三角形最大角的余弦值为(　 ) A．－ B. C. D. 解析：选A　因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为θ，则cos θ＝＝－，故选A. 4．若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　 ) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D.∶∶2 解析：选A